3. Отрезки AD и BC пересекаются в точке O, которая является серединой отрезка AD, углы BAO и CDO равны. Доказать, что AOB = DOC.

3. **Ответ: Доказано.** **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$. По условию $O$ — середина $AD$, значит $AO = OD$. 2) $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные углы. 3) Так как по условию $\triangle BAO$ и $\triangle CDO$ равны, и у них уже есть равные стороны ($AO=OD$) и равные углы при вершине $O$, то соответственные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (или по условию задачи, если подразумевается равенство из контекста). 4. **Ответ: Доказано.** **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle MND$ и $\triangle MLD$. 2) По условию $MN = ML$ и $DN = DL$. 3) Сторона $MD$ — общая. 4) Значит, $\triangle MND = \triangle MLD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 5) В равных треугольниках соответствующие углы равны, следовательно, $\angle NMD = \angle LMD$. Это означает, что $MD$ — биссектриса угла $M$. 5*. **Ответ: 40°.** **Решение:** 1) Рассмотрим диаметры $MK$ и $PH$. Точка $O$ является их точкой пересечения и центром окружности. 2) Углы $\angle OPK$ и $\angle OHM$ являются вертикальными или рассматриваются в треугольниках. Однако проще заметить, что $\angle OPK$ и $\angle OHM$ не связаны напрямую. 3) Углы $\angle OPK$ и $\angle OMK$ — это углы при основании равнобедренного треугольника $POK$ (так как $OP=OK$ как радиусы). Но нам дан $\angle OPK = 40^\circ$. 4) Рассмотрим $\triangle POK$ и $\triangle MOH$. В них: $PO = OH$ (радиусы), $OK = OM$ (радиусы), $\angle POK = \angle MOH$ (вертикальные). 5) Значит, $\triangle POK = \triangle MOH$ по первому признаку (две стороны и угол между ними). 6) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны $OK$ лежит $\angle OPK = 40^\circ$, а против равной ей стороны $OM$ лежит $\angle OHM$. Значит, $\angle OHM = 40^\circ$.