213 На рисунке 122 CE = ED, BE = EF и KE || AF. Докажите, что KE || BC. 214 Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону AC в точке M. Докажите, что MD || AB.

213. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$: - $CE = ED$ (по условию); - $BE = EF$ (по условию); - $\angle BEC = \angle FED$ (как вертикальные). Следовательно, $\triangle BCE = \triangle FDE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 2. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: $\angle CBE = \angle EFD$. 3. Углы $\angle CBE$ и $\angle EFD$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AF$ и секущей $BF$. Так как они равны, то по признаку параллельности прямых $BC \parallel AF$. 4. По условию известно, что $KE \parallel AF$. Так как $BC \parallel AF$ и $KE \parallel AF$, то по свойству параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой) получаем: **Ответ: $KE \parallel BC$** 214. **Доказательство:** **Допущение:** Пусть $P$ — середина биссектрисы $AD$, тогда прямая $MP \perp AD$. 1. В треугольнике $AMD$ отрезок $MP$ является высотой ($MP \perp AD$) и медианой (так как $P$ — середина $AD$). Следовательно, $\triangle AMD$ — равнобедренный с основанием $AD$. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle MAD = \angle MDA$. 3. Так как $AD$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$, то $\angle BAD = \angle MAD$. 4. Сравнивая равенства из п. 2 и п. 3, получаем: $\angle BAD = \angle MDA$. 5. Углы $\angle BAD$ и $\angle MDA$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $MD$ и секущей $AD$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых: **Ответ: $MD \parallel AB$**