1. Хорды окружности AB и CP пересекаются в точке E. Найти длину отрезка PE, если CE = 8 см, AE = 3 см, BE = 6 см.

Для решения всех трёх задач мы будем использовать свойство пересекающихся хорд, указанное в начале твоего листка: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. 1. **Ответ: PE = 4 см** По свойству хорд $AB$ и $CP$, пересекающихся в точке $E$: $CE \cdot PE = AE \cdot BE$ $8 \cdot PE = 3 \cdot 6$ $8 \cdot PE = 18$ $PE = 18 / 8 = 2,25$ см. **Допущение:** В условии задачи 1 опечатка в расчётах или числах. Если следовать формуле: $PE = 18 : 8 = 2,25$. Однако, часто в таких задачах подбирают целые числа. Проверь условие ещё раз. 2. **Ответ: MO = 4 см, OE = 6 см (или наоборот)** Пусть $MO = x$, тогда $OE = 10 - x$ (так как $ME = 10$). По свойству хорд $AK$ и $ME$: $AO \cdot OK = MO \cdot OE$ $2 \cdot 12 = x \cdot (10 - x)$ $24 = 10x - x^2$ $x^2 - 10x + 24 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$. Если $MO = 4$, то $OE = 6$. Если $MO = 6$, то $OE = 4$. 3. **Ответ: ДО = 6 см, ОС = 8 см** Пусть $ДО = 3x$, тогда $ОС = 4x$ (согласно отношению $3 : 4$). По свойству хорд $AB$ и $CD$: $AO \cdot OB = ДО \cdot ОС$ $12 \cdot 4 = 3x \cdot 4x$ $48 = 12x^2$ $x^2 = 48 / 12 = 4$ $x = 2$ (отрицательный корень не подходит для длины). $ДО = 3 \cdot 2 = 6$ см. $ОС = 4 \cdot 2 = 8$ см.