20. Решите неравенство 1 - 14/(t+9) + 45/(t²+18t+81) ≥ 0

**Ответ: $t \in (-\infty; -9) \cup (-9; 4] \cup [10; +\infty)$** Решение: 1. Заметим, что знаменатель второй дроби является квадратом суммы: $$t^2 + 18t + 81 = (t + 9)^2$$ 2. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(t + 9)^2$: $$\frac{(t+9)^2 - 14(t+9) + 45}{(t+9)^2} \ge 0$$ 3. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 18t + 81 - 14t - 126 + 45}{(t+9)^2} \ge 0$$ $$\frac{t^2 + 4t - 0}{(t+9)^2} \ge 0$$ 4. Найдем корни числителя $t^2 + 4t = 0$: $$t(t + 4) = 0 \Rightarrow t_1 = 0, t_2 = -4$$ Ой, кажется, я допустил ошибку в расчетах числителя. Пересчитаем внимательно: $81 - 126 + 45 = 126 - 126 = 0$. Все верно. Числитель: $t^2 + 4t$. Стоп, перепроверим свободный член: $81 - 126 + 45 = 0$. Постойте, пересчитаем еще раз числитель: $t^2 + 18t + 81 - 14t - 126 + 45 = t^2 + 4t + 0$. Разложим числитель на множители: $$\frac{t(t+4)}{(t+9)^2} \ge 0$$ 5. Определим знаки на числовой прямой: - Точки из числителя: $t = 0$ и $t = -4$ (закрашенные). - Точка из знаменателя: $t = -9$ (выколотая, так как на 0 делить нельзя). Так как $(t+9)^2$ всегда положительно при $t \neq -9$, знак выражения зависит только от числителя $t(t+4)$. Парабола $y = t(t+4)$ ветвями вверх, положительна при $t \le -4$ и $t \ge 0$. 6. С учетом ОДЗ ($t \neq -9$): $$t \in (-\infty; -9) \cup (-9; -4] \cup [0; +\infty)$$ *Примечание: в первом кратком ответе была допущена опечатка в расчетах коэффициентов, верный интервал указан в пункте 6.*