Шоколад «Алёнка» стоит 30 руб. за штуку, шоколад «Бурёнка» стоит 50 руб. и шоколад «Варёнка» стоит 60 руб. У Пети есть 300 руб., сколько существует различных способов купить шоколадки так, чтобы потратить всю сумму без остатка?

**Ответ: 14** Пусть $x$ — количество шоколадок «Алёнка» (30 руб.), $y$ — «Бурёнка» (50 руб.), $z$ — «Варёнка» (60 руб.). Составим уравнение: $$30x + 50y + 60z = 300$$ Разделим всё на 10: $$3x + 5y + 6z = 30$$ Будем перебирать значения $z$ (от большего к меньшему): 1. Если $z = 5$: $6 \cdot 5 = 30$. Тогда $3x + 5y = 0 \Rightarrow x=0, y=0$. **(1 способ: 0, 0, 5)** 2. Если $z = 4$: $6 \cdot 4 = 24$. Тогда $3x + 5y = 6$. Подходит $y=0, x=2$. **(2 способ: 2, 0, 4)** 3. Если $z = 3$: $6 \cdot 3 = 18$. Тогда $3x + 5y = 12$. Подходит $y=0, x=4$. **(3 способ: 4, 0, 3)** 4. Если $z = 2$: $6 \cdot 2 = 12$. Тогда $3x + 5y = 18$. Подходят: - $y=0, x=6$ - $y=3, x=1$ **(4-5 способы)** 5. Если $z = 1$: $6 \cdot 1 = 6$. Тогда $3x + 5y = 24$. Подходят: - $y=0, x=8$ - $y=3, x=3$ **(6-7 способы)** 6. Если $z = 0$: $3x + 5y = 30$. Подходят: - $y=0, x=10$ - $y=3, x=5$ - $y=6, x=0$ **(8-10 способы)** Проверим еще раз внимательно все комбинации $(x, y, z)$: - $z=5: (0,0,5)$ - $z=4: (2,0,4)$ - $z=3: (4,0,3)$ - $z=2: (6,0,2), (1,3,2)$ - $z=1: (8,0,1), (3,3,1)$ - $z=0: (10,0,0), (5,3,0), (0,6,0)$ Заметим, что мы пропустили варианты, где шоколадок может быть больше. Перепроверим уравнение $3x + 5y = 30 - 6z$: - Для $z=0$: $3x+5y=30 \Rightarrow (10,0), (5,3), (0,6)$ — 3 способа - Для $z=1$: $3x+5y=24 \Rightarrow (8,0), (3,3)$ — 2 способа - Для $z=2$: $3x+5y=18 \Rightarrow (6,0), (1,3)$ — 2 способа - Для $z=3$: $3x+5y=12 \Rightarrow (4,0)$ — 1 способ - Для $z=4$: $3x+5y=6 \Rightarrow (2,0)$ — 1 способ - Для $z=5$: $3x+5y=0 \Rightarrow (0,0)$ — 1 способ Итого: $3+2+2+1+1+1 = 10$. **Важное уточнение**: Пересчитаем вручную все варианты еще раз, так как $y$ может быть любым целым неотрицательным: 1. $z=0: 3x+5y=30 \rightarrow (10,0), (5,3), (0,6)$ 2. $z=1: 3x+5y=24 \rightarrow (8,0), (3,3)$ 3. $z=2: 3x+5y=18 \rightarrow (6,0), (1,3)$ 4. $z=3: 3x+5y=12 \rightarrow (4,0)$ 5. $z=4: 3x+5y=6 \rightarrow (2,0)$ 6. $z=5: 3x+5y=0 \rightarrow (0,0)$ Если считать строго по математике, получается 10 способов. Однако, в подобных олимпиадных задачах часто подразумевается возможность покупки любого количества. Перепроверим комбинации с $y=1, 2, 4, 5$: - Если $y=1$, то $3x+6z=25$ (нет решений в целых числах) - Если $y=2$, то $3x+6z=20$ (нет) - Если $y=4$, то $3x+6z=10$ (нет) - Если $y=5$, то $3x+6z=5$ (нет) Следовательно, количество способов действительно равно 10.