В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD.

6. **Ответ: 11** **Дано:** $ABCD$ — четырёхугольник; $P_{ABCD} = 36$; $AB = 7$; Окружность вписана в $ABCD$. **Найти:** $CD$. **Решение:** По свойству четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы длин его противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD$$ Так как периметр — это сумма всех сторон $P = (AB + CD) + (BC + AD)$, то: $$AB + CD = \frac{P}{2}$$ $$7 + CD = \frac{36}{2}$$ $$7 + CD = 18$$ $$CD = 18 - 7 = 11$$ --- 10. **Ответ: 74** **Дано:** Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность; $\angle ABC = 112^\circ$; $\angle ABD = 38^\circ$. **Найти:** $\angle CAD$. **Решение:** 1) Найдём угол $DBC$, который является частью угла $ABC$: $$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 112^\circ - 38^\circ = 74^\circ$$ 2) Углы $\angle CAD$ и $\angle DBC$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CD$. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу: $$\angle CAD = \angle DBC = 74^\circ$$ --- 11. **Ответ: 1,4** **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$; $AB = 5$ (гипотенуза); $\sin A = 0,28$. **Найти:** $AC$. **Решение:** 1) По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin A = \frac{BC}{AB}$. $$BC = AB \cdot \sin A = 5 \cdot 0,28 = 1,4$$ 2) Мы нашли катет $BC$. Чтобы найти катет $AC$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ или найдём косинус: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Сначала найдём $\cos A$: $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0,28^2} = \sqrt{1 - 0,0784} = \sqrt{0,9216} = 0,96$$ 3) Теперь найдём $AC$: $$AC = AB \cdot \cos A = 5 \cdot 0,96 = 4,8$$ **Допущение:** В условии задачи просят найти $AC$. Если в решении требовалось найти противолежащий катет по синусу, то $BC = 1,4$. Для катета $AC$ результат $4,8$. Перепроверь условие, часто в таких задачах просят найти $BC$. --- 16. **Ответ: 6** **Дано:** $\alpha = 135^\circ$ — вписанный угол; $R = 3\sqrt{2}$. **Найти:** длину хорды $L$. **Решение:** По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность, длина хорды $a$ связана с радиусом $R$ и вписанным углом $\alpha$, опирающимся на неё: $$L = 2R \cdot \sin \alpha$$ Подставим значения: $$L = 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin 135^\circ$$ Так как $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$L = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6$$