Дано: ΔABC, AB=BC=5, AC=8. AH1, BH2, CH3 — высоты. Найти: высоты Δ

**Ответ: $BH_2 = 3$; $AH_1 = CH_3 = 4,8$.** **Решение:** 1. Найдём высоту $BH_2$, проведённую к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она является медианой, значит: $$AH_2 = H_2C = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ По теореме Пифагора из $\triangle ABH_2$: $$BH_2 = \sqrt{AB^2 - AH_2^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$ 2. Найдём площадь треугольника $ABC$: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$ 3. Найдём высоты $AH_1$ и $CH_3$, проведённые к боковым сторонам. Так как треугольник равнобедренный, эти высоты равны. Используем формулу площади: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_1 \implies 12 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AH_1$$ $$AH_1 = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} = 4,8$$ $$CH_3 = AH_1 = 4,8$$