Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

**Ответ: Теорема доказана.** **Доказательство:** 1. Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Проведём биссектрису $BD$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Нам нужно доказать, что $BD$ является медианой и высотой. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$: - $AB = CB$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный); - $\angle ABD = \angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса); - Сторона $BD$ — общая. 3. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 4. Из равенства треугольников следует: - $AD = CD$. Значит, точка $D$ — середина $AC$, и $BD$ является **медианой**. - $\angle ADB = \angle CDB$. Эти углы смежные и их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, каждый из них равен $90^\circ$ ($180^\circ : 2 = 90^\circ$). Значит, $BD \perp AC$, и $BD$ является **высотой**.