1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 20 см и 5 см, а угол между ними — 135°. 2. Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, а угол между ними — 120°. Найдите диагонали параллелограмма. 3. Решите треугольник ABC, если AB = √3 см, AC = 2√3 см, ∠A = 60°.

1. **Ответ: 25\sqrt{2} \text{ см}^2** Площадь треугольника ($S$) находится по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 5 \cdot \sin(135^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\sqrt{2} \approx 35,35 \text{ (см}^2\text{)}$$ 2. **Ответ: 7 см и \sqrt{19} см** Пусть стороны $a=3, b=5$. Углы параллелограмма в сумме $180^\circ$, значит $\alpha = 120^\circ$, $\beta = 60^\circ$. Используем теорему косинусов для диагоналей ($d$): - Большая диагональ (против $120^\circ$): $$d_1^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) = 9 + 25 - 30 \cdot (-0,5) = 34 + 15 = 49 \implies d_1 = 7 \text{ (см)}$$ - Меньшая диагональ (против $60^\circ$): $$d_2^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 25 - 30 \cdot 0,5 = 34 - 15 = 19 \implies d_2 = \sqrt{19} \approx 4,36 \text{ (см)}$$ 3. **Ответ: BC = 3 см, \angle B = 90^\circ, \angle C = 30^\circ** Решить треугольник — значит найти все его стороны и углы. - Найдём сторону $BC$ по теореме косинусов: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ)$$ $$BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 0,5 = 3 + 12 - 6 = 9 \implies BC = 3 \text{ (см)}$$ - Найдём угол $B$ по теореме косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)$$ $$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(B)$$ $$12 = 3 + 9 - 6\sqrt{3} \cdot \cos(B) \implies 12 = 12 - 6\sqrt{3} \cdot \cos(B) \implies \cos(B) = 0 \implies \angle B = 90^\circ$$ - Найдём угол $C$: $$\angle C = 180^\circ - (60^\circ + 90^\circ) = 30^\circ$$