Решить неравенства и найти область определения функции (номера 228, 231, 232, 234, 238, 239).

На изображении отмечено несколько упражнений. Давай решим те, которые выделены красными точками. **228. Решить неравенство:** 1) $3^x > 9$ $3^x > 3^2$ $x > 2$ **Ответ: $x \in (2; +\infty)$** 4) $4^x < \frac{1}{2}$ $(2^2)^x < 2^{-1}$ $2^{2x} < 2^{-1}$ $2x < -1$ $x < -0,5$ **Ответ: $x \in (-\infty; -0,5)$** **231. Решить неравенство:** 1) $2^{-x^2+3x} < 4$ $2^{-x^2+3x} < 2^2$ $-x^2 + 3x < 2$ $x^2 - 3x + 2 > 0$ Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$: $x_1 = 1, x_2 = 2$. Интервалы: $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$. **Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$** **232. Решить неравенство:** 1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$ $3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^{-1} < 28$ $3^x (9 + \frac{1}{3}) < 28$ $3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$ $3^x < 3$ $x < 1$ **Ответ: $x \in (-\infty; 1)$** **234. Найти область определения функции:** 1) $y = \sqrt{25^x - 5^x}$ Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $25^x - 5^x \ge 0$ $(5^2)^x - 5^x \ge 0$ $(5^x)^2 - 5^x \ge 0$ Пусть $5^x = t, t > 0$: $t^2 - t \ge 0$ $t(t-1) \ge 0$ Так как $t > 0$, то $t-1 \ge 0 \Rightarrow t \ge 1$. $5^x \ge 5^0 \Rightarrow x \ge 0$. **Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$** **238. Решить неравенство:** 1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$ Так как основание $11 > 1$, то: $\sqrt{x+6} > x$ Система: $\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ \begin{cases} x < 0 \\ x \ge -6 \end{cases} \text{ или } \begin{cases} x \ge 0 \\ x+6 > x^2 \end{cases} \end{cases}$ Решим $x^2 - x - 6 < 0$: корни $-2$ и $3$, интервал $(-2; 3)$. С учетом $x \ge 0$ получаем $[0; 3)$. Объединяем с первым случаем $[-6; 0)$: **Ответ: $x \in [-6; 3)$** **239. Решить неравенство:** 1) $0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5$ $(\frac{2}{5})^x - 2,5 \cdot (\frac{5}{2})^x > 1,5$ Пусть $(\frac{2}{5})^x = t, t > 0$: $t - \frac{2,5}{t} > 1,5$ $t^2 - 1,5t - 2,5 > 0$ (так как $t > 0$) Корни $t^2 - 1,5t - 2,5 = 0$: $t_1 = 2,5; t_2 = -1$. Так как $t > 0$, то $t > 2,5$. $(\frac{2}{5})^x > 2,5 \Rightarrow (\frac{2}{5})^x > (\frac{2}{5})^{-1}$ $x < -1$ (основание меньше 1) **Ответ: $x \in (-\infty; -1)$**