Дано: ΔPKF, ∠K = 90°, ∠P = 150°, KC ⊥ PF, KE = 9. Найти: CE, CP

**Ответ: CE = 4,5; CP = 13,5** **Решение:** 1. Рассмотрим внешний угол треугольника $\triangle PKE$ при вершине $P$. Он равен $150^\circ$. Следовательно, внутренний угол $\angle KPE = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle PKE$ (по условию $\angle K = 90^\circ$). Сумма острых углов равна $90^\circ$, значит $\angle KEP = 90^\circ - \angle KPE = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 3. Рассмотрим прямоугольный $\triangle KCE$ ($KC \perp PE$). В нём $\angle KEC = 60^\circ$, тогда $\angle CKE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 4. В прямоугольном $\triangle KCE$ катет $CE$ лежит против угла в $30^\circ$, значит он равен половине гипотенузы $KE$: $$CE = \frac{KE}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$$ 5. Найдем катет $KC$ в $\triangle KCE$ по теореме Пифагора (или через тригонометрию): $$KC = KE \cdot \sin(60^\circ) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4,5\sqrt{3}$$ 6. Рассмотрим прямоугольный $\triangle KCP$. В нём $\angle KPC = 30^\circ$. Катет $KC$ лежит против угла в $30^\circ$, значит гипотенуза $KP$ в два раза больше: $$KP = 2 \cdot KC = 2 \cdot 4,5\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$ 7. Найдем $CP$ по теореме Пифагора из $\triangle KCP$: $$CP^2 = KP^2 - KC^2 = (9\sqrt{3})^2 - (4,5\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 - 20,25 \cdot 3 = 243 - 60,75 = 182,25$$ $$CP = \sqrt{182,25} = 13,5$$