Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

**Ответ: 13 см** Пусть $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, а $d$ — его диагональ. По условию диагональ является высотой, значит, она перпендикулярна одной из сторон. Тогда стороны и диагональ образуют прямоугольный треугольник, где $a$ — гипотенуза, $b$ и $d$ — катеты. 1. Составим систему уравнений для сторон на основе периметра ($P=50$) и разности сторон ($a-b=1$): $$\begin{cases} 2(a + b) = 50 \\ a - b = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} a + b = 25 \\ a - b = 1 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $2a = 26 \Rightarrow a = 13$ см. Вычтем уравнения: $2b = 24 \Rightarrow b = 12$ см. 2. Так как диагональ $d$ является высотой, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами $a$, $b$ и $d$: $$d^2 + b^2 = a^2$$ $$d^2 + 12^2 = 13^2$$ $$d^2 + 144 = 169$$ $$d^2 = 25$$ $$d = 5$$ см. **Допущение:** В тексте задачи 97 из-за обрезки фото не видно, какой именно из сторон перпендикулярна диагональ. Если диагональ перпендикулярна меньшей стороне, она сама является большей стороной в прямоугольном треугольнике, что невозможно для высоты внутри фигуры. Если же диагональ (как высота) соединяет вершины и образует с одной из сторон прямой угол, то она является катетом. Однако, если предположить, что диагональ равна одной из сторон, ответ может измениться. Исходя из стандартных задач такого типа, ищем катет или гипотенузу. Перепроверим: если $a=13, b=12$, и диагональ перпендикулярна стороне $b$, то $d = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ см.