197 В треугольнике ABC угол A равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла BCE параллельна прямой AB.

**Доказательство:** 1. Найдём угол $ACB$. Так как углы $ACB$ и $BCE$ — смежные, их сумма равна $180^{\circ}$: $$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BCE = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$$ 2. Пусть прямая $l$ — биссектриса внешнего угла $BCE$. По определению биссектрисы она делит угол пополам: $$\angle(l, CB) = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ}$$ 3. Рассмотрим прямые $l$ и $AB$ и секущую $AC$. Мы знаем, что по условию $\angle A = 40^{\circ}$. Заметим, что угол $A$ и угол между биссектрисой и продолжением стороны $AC$ (пусть это луч $CE$) являются соответственными при прямых $l$, $AB$ и секущей $AE$. 4. Или проще: рассмотрим секущую $AC$. Внешний угол $BCE$ для треугольника $ABC$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$\angle BCE = \angle A + \angle B$$ $$80^{\circ} = 40^{\circ} + \angle B \Rightarrow \angle B = 40^{\circ}$$ 5. Теперь рассмотрим биссектрису угла $BCE$. Пусть это луч $CK$. Тогда $\angle BCK = 40^{\circ}$. 6. Рассмотрим прямые $CK$ и $AB$ и секущую $BC$. Углы $\angle BCK$ и $\angle B$ являются накрест лежащими. Так как $\angle BCK = \angle B = 40^{\circ}$, то по признаку параллельности прямых $CK \parallel AB$. **Что и требовалось доказать.**