В треугольнике ABC BC = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины BC к прямой AC, делит сторону AC на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.

**Ответ: 480 см²** 1. Найдём длину стороны $AC$: $$AC = AN + NC = 25 + 15 = 40 \text{ (см)}$$ 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNC$ (где $\angle MNC = 90^\circ$ по условию). Так как $M$ — середина $BC$, то: $$MC = \frac{BC}{2} = \frac{34}{2} = 17 \text{ (см)}$$ 3. По теореме Пифагора в $\triangle MNC$ найдём катет $MN$: $$MN^2 = MC^2 - NC^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$ $$MN = \sqrt{64} = 8 \text{ (см)}$$ 4. Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC$ к стороне $AC$. В треугольнике $BHC$ отрезок $MN$ является средней линией (так как $M$ — середина $BC$ и $MN \parallel BH$, так как оба перпендикулярны $AC$): $$BH = 2 \cdot MN = 2 \cdot 8 = 16 \text{ (см)}$$ 5. Вычислим площадь треугольника $ABC$: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320 \text{ (см²)}$$ **Допущение:** В ходе решения была обнаружена арифметическая ошибка в финальном действии или интерпретации высоты. Пересчитаем: если $MN$ — средняя линия, то $H$ должна быть точкой на прямой $AC$. Так как $MN \perp AC$ и $BH \perp AC$, треугольники $MNC$ и $BHC$ подобны с коэффициентом 2. Значит, $BH = 16$. Площадь $S = 0.5 \cdot 40 \cdot 16 = 320$. **Ответ: 320 см²**