Question

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили такую точку D, что ∠BDA = 120°. Найдите BC, если AD = 12 см.

Accepted Answer

Ответ: BC = 18 см

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$:
   По условию $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Тогда второй острый угол треугольника:
   $$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

2. Рассмотрим смежный угол для $\angle BDA$:
   Угол $\angle BDA = 120^\circ$ (внешний для $	riangle ADC$ или смежный с $\angle ADC$).
   Угол $\angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

3. В прямоугольном треугольнике $ADC$:
   $$\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
   По свойству катета, лежащего против угла $30^\circ$:
   $$CD = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6	ext{ см}$$

4. Найдем угол $\angle ABD$ в треугольнике $ABD$:
   $$\angle ABD = \angle B - \angle CBD 	ext{ (неизвестно)} $$
   Или через сумму углов $	riangle ABD$:
   $$\angle BAD = \angle A - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$$
   Так как $\angle BAD = 30^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$, то $	riangle ABD$ — равнобедренный ($AD = BD$).
   $$BD = AD = 12	ext{ см}$$

5. Вычисляем длину катета $BC$:
   $$BC = BD + CD = 12 + 6 = 18	ext{ см}$$

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили такую точку D, что ∠BDA = 120°. Найдите BC, если AD = 12 см.

Ответ ассистента

Другие решения