Решите уравнение $\frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{x^2-1} = \frac{4}{9}$

1. $\frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{x^2-1} = \frac{4}{9}$ Разложим знаменатель второй дроби: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. $\frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{9}$ Общий знаменатель для левой части: $(x-1)(x+1)$. $\frac{(x-4)(x-1) - 10}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{9}$ Раскроем скобки в числителе: $(x-4)(x-1) = x^2 - x - 4x + 4 = x^2 - 5x + 4$ $\frac{x^2 - 5x + 4 - 10}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{9}$ $\frac{x^2 - 5x - 6}{x^2 - 1} = \frac{4}{9}$ Умножим крест-накрест: $9(x^2 - 5x - 6) = 4(x^2 - 1)$ $9x^2 - 45x - 54 = 4x^2 - 4$ Перенесем все в одну сторону: $9x^2 - 4x^2 - 45x - 54 + 4 = 0$ $5x^2 - 45x - 50 = 0$ Разделим все на 5: $x^2 - 9x - 10 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4(1)(-10) = 81 + 40 = 121$ $x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{9 \pm 11}{2}$ $x_1 = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $x_2 = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Проверим ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Значение $x_2 = -1$ не подходит. **Ответ:** $x = 10$ 2. $\frac{x+1}{x-3} - \frac{8}{x+3} = \frac{24}{x^2-9}$ Разложим знаменатель правой части: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. $\frac{x+1}{x-3} - \frac{8}{x+3} = \frac{24}{(x-3)(x+3)}$ Общий знаменатель для всех дробей: $(x-3)(x+3)$. Умножим все члены уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$. $(x+1)(x+3) - 8(x-3) = 24$ Раскроем скобки: $(x^2 + 3x + x + 3) - (8x - 24) = 24$ $x^2 + 4x + 3 - 8x + 24 = 24$ $x^2 - 4x + 27 = 24$ $x^2 - 4x + 27 - 24 = 0$ $x^2 - 4x + 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$ $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2}{2}$ $x_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Проверим ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Значение $x_1 = 3$ не подходит. **Ответ:** $x = 1$ 3. $\frac{x+3}{x+1} - \frac{x+1}{1-x} = \frac{4}{x^2-1}$ Перепишем вторую дробь, изменив знак в знаменателе: $\frac{x+1}{1-x} = \frac{x+1}{-(x-1)} = -\frac{x+1}{x-1}$. Разложим знаменатель правой части: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Получаем: $\frac{x+3}{x+1} - \left(-\frac{x+1}{x-1}\right) = \frac{4}{(x-1)(x+1)}$ $\frac{x+3}{x+1} + \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x-1)(x+1)}$ Общий знаменатель для всех дробей: $(x-1)(x+1)$. Умножим все члены уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$. $(x+3)(x-1) + (x+1)(x+1) = 4$ Раскроем скобки: $(x^2 - x + 3x - 3) + (x^2 + 2x + 1) = 4$ $x^2 + 2x - 3 + x^2 + 2x + 1 = 4$ $2x^2 + 4x - 2 = 4$ $2x^2 + 4x - 2 - 4 = 0$ $2x^2 + 4x - 6 = 0$ Разделим все на 2: $x^2 + 2x - 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 4}{2}$ $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Проверим ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Значение $x_1 = 1$ не подходит. **Ответ:** $x = -3$ 4. $\frac{x-3}{x+2} + \frac{x+8}{x-1} = \frac{15}{(x+2)(x-1)}$ Общий знаменатель для всех дробей: $(x+2)(x-1)$. Умножим все члены уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 1$. $(x-3)(x-1) + (x+8)(x+2) = 15$ Раскроем скобки: $(x^2 - x - 3x + 3) + (x^2 + 2x + 8x + 16) = 15$ $x^2 - 4x + 3 + x^2 + 10x + 16 = 15$ $2x^2 + 6x + 19 = 15$ $2x^2 + 6x + 19 - 15 = 0$ $2x^2 + 6x + 4 = 0$ Разделим все на 2: $x^2 + 3x + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-3 \pm 1}{2}$ $x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Проверим ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 1$. Значение $x_2 = -2$ не подходит. **Ответ:** $x = -1$