1. Найдите значение выражения:
а)
$$13\frac{2}{5} - 11,2 : 9\frac{1}{3}$$
Для начала переведём все числа в один вид, например, в десятичные дроби или обыкновенные. Мне кажется, тут удобнее в десятичные.
$$13\frac{2}{5} = 13 + \frac{2}{5} = 13 + 0,4 = 13,4$$
$$9\frac{1}{3} = \frac{28}{3}$$
Теперь выполним деление:
$$11,2 : 9\frac{1}{3} = 11,2 : \frac{28}{3} = \frac{112}{10} \cdot \frac{3}{28} = \frac{112 \cdot 3}{10 \cdot 28} = \frac{4 \cdot 28 \cdot 3}{10 \cdot 28} = \frac{12}{10} = 1,2$$
Теперь вычитание:
$$13,4 - 1,2 = 12,2$$
**Ответ: 12,2**
б)
$$3,6 + 4,8 - \left(8\frac{3}{4} - 7\frac{5}{6}\right)$$
Сначала разберемся со скобками. Переведем смешанные дроби в неправильные:
$$8\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{32 + 3}{4} = \frac{35}{4}$$
$$7\frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{42 + 5}{6} = \frac{47}{6}$$
Теперь вычитание в скобках, приведем к общему знаменателю (12):
$$\frac{35}{4} - \frac{47}{6} = \frac{35 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{47 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{105}{12} - \frac{94}{12} = \frac{105 - 94}{12} = \frac{11}{12}$$
Теперь выполним сложение и вычитание:
$$3,6 + 4,8 - \frac{11}{12}$$
$$3,6 + 4,8 = 8,4$$
Теперь вычитаем из 8,4 дробь $\frac{11}{12}$. Можно перевести 8,4 в дробь $\frac{84}{10} = \frac{42}{5}$:
$$\frac{42}{5} - \frac{11}{12}$$
Приведем к общему знаменателю (60):
$$\frac{42 \cdot 12}{5 \cdot 12} - \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{504}{60} - \frac{55}{60} = \frac{504 - 55}{60} = \frac{449}{60}$$
Эту дробь можно перевести в смешанную или десятичную:
$$\frac{449}{60} = 7\frac{29}{60}$$
**Ответ: $\frac{449}{60}$ или $7\frac{29}{60}$**
2. Для изготовления 8 одинаковых приборов требуется 12 кг цветных металлов. Сколько килограммов цветных металлов потребуется для изготовления 6 таких приборов?
Сначала найдём, сколько металла нужно для одного прибора:
$$12 \text{ кг} : 8 \text{ приборов} = 1,5 \text{ кг/прибор}$$
Теперь умножим это количество на 6 приборов:
$$1,5 \text{ кг/прибор} \cdot 6 \text{ приборов} = 9 \text{ кг}$$
**Ответ: 9 кг**
3. Для перевозки груза машине грузоподъёмностью 7,5 т пришлось сделать 12 рейсов. Сколько рейсов придётся сделать автомашине грузоподъёмностью 9 т для перевозки этого же груза?
Сначала найдём общую массу груза:
$$7,5 \text{ т/рейс} \cdot 12 \text{ рейсов} = 90 \text{ т}$$
Теперь разделим общую массу груза на грузоподъёмность новой машины:
$$90 \text{ т} : 9 \text{ т/рейс} = 10 \text{ рейсов}$$
**Ответ: 10 рейсов**
4. Найдите длину окружности, если длина её радиуса 2,25 дм. (Число $\pi$ округлите до сотых)
Формула длины окружности: $L = 2\pi r$.
Радиус $r = 2,25$ дм.
$\pi \approx 3,14$
$$L = 2 \cdot 3,14 \cdot 2,25$$
$$L = 6,28 \cdot 2,25$$
$$\begin{array}{r} 6,28 \\ \times 2,25 \\ \hline 3140 \\ 1256 \\ 1256 \\ \hline 14,1300 \end{array}$$
**Ответ: 14,13 дм**
5. Сначала цена товара повысилась на 12%, а через год новая цена понизилась на 12%. Стал товар дешевле или дороже его первоначальной цены?
Пусть первоначальная цена товара будет $P$.
Цена повысилась на 12%, значит новая цена стала:
$$P_1 = P + 0,12P = 1,12P$$
Через год эта новая цена понизилась на 12%. Значит, от $P_1$ отняли 12%:
$$P_2 = P_1 - 0,12P_1 = P_1(1 - 0,12) = P_1 \cdot 0,88$$
Подставим вместо $P_1$ его выражение:
$$P_2 = (1,12P) \cdot 0,88$$
$$P_2 = (1,12 \cdot 0,88)P$$
Умножим 1,12 на 0,88:
$$\begin{array}{r} 1,12 \\ \times 0,88 \\ \hline 896 \\ 896 \\ \hline 0,9856 \end{array}$$
Итак, $P_2 = 0,9856P$.
Так как $0,9856 < 1$, то конечная цена товара $P_2$ меньше первоначальной цены $P$.
Товар стал дешевле.
Насколько дешевле?
$$P - P_2 = P - 0,9856P = (1 - 0,9856)P = 0,0144P$$
То есть, на 1,44% дешевле.
**Ответ: Товар стал дешевле.**
