Найдите наименьшее значение функции $y=x^3-2x^2+x+3$ на отрезке $[1;4]$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y=x^3-2x^2+x+3$ на отрезке $[1;4]$, нужно выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции.** $$y' = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1$$ 2. **Приравнять производную к нулю и найти критические точки.** $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ 3. **Определить, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку.** Отрезок $[1;4]$. Точка $x_1 = \frac{1}{3}$ не принадлежит отрезку $[1;4]$ (так как $1/3 < 1$). Точка $x_2 = 1$ принадлежит отрезку $[1;4]$. 4. **Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.** * Значение функции на левом конце отрезка, при $x=1$: $$y(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$$ * Значение функции на правом конце отрезка, при $x=4$: $$y(4) = 4^3 - 2 \cdot 4^2 + 4 + 3 = 64 - 2 \cdot 16 + 4 + 3 = 64 - 32 + 4 + 3 = 39$$ 5. **Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее.** Среди значений $y(1)=3$ и $y(4)=39$ наименьшее равно $3$. **Ответ:** 3