Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$ на отрезке $[-4; -1]$

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить производную, найти критические точки и значения функции в этих точках и на концах отрезка. 1. Найдём производную функции: $$y' = (x^3 + 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 + 4x + 1$$ 2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: $$3x^2 + 4x + 1 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ 3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-4; -1]$. Точка $x_1 = -1$ принадлежит отрезку $[-4; -1]$. Точка $x_2 = -\frac{1}{3}$ не принадлежит отрезку $[-4; -1]$. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку. При $x = -4$: $$y(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 + (-4) + 3 = -64 + 2 \cdot 16 - 4 + 3 = -64 + 32 - 4 + 3 = -33$$ При $x = -1$: $$y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 \cdot 1 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$ 5. Сравним полученные значения: $$-33$$ (при $x = -4$) $$3$$ (при $x = -1$) Наибольшее значение функции на данном отрезке равно $3$. **Ответ:** $3$