Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$ на отрезке $[-4; -1]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно: 1. Найти производную функции: $$y' = (x^3 + 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 + 4x + 1$$ 2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки: $$3x^2 + 4x + 1 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ 3. Определить, какие критические точки попадают в заданный отрезок $[-4; -1]$. Точка $x_1 = -1$ принадлежит отрезку $[-4; -1]$. Точка $x_2 = -\frac{1}{3}$ не принадлежит отрезку $[-4; -1]$ (так как $-1 < -\frac{1}{3} < 0$). 4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках, которые попали в отрезок. Нам нужно рассмотреть $x = -4$ и $x = -1$. При $x = -4$: $$y(-4) = (-4)^3 + 2(-4)^2 + (-4) + 3 = -64 + 2 \cdot 16 - 4 + 3 = -64 + 32 - 4 + 3 = -33$$ При $x = -1$: $$y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 \cdot 1 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$ 5. Выбрать наибольшее значение из полученных. Сравниваем значения: $-33$ и $3$. Наибольшее значение равно $3$. **Ответ:** $3$