4. Векторы $\vec{a} (2; 4)$, $\vec{b} (-1; 2)$, $\vec{c} (c_1; c_2)$ отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов?

4. Векторы $\vec{a} (2; 4)$, $\vec{b} (-1; 2)$, $\vec{c} (c_1; c_2)$ отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов? Координаты конца вектора, отложенного от начала координат, совпадают с координатами самого вектора. Конец вектора $\vec{a}$ имеет координаты $(2; 4)$. Конец вектора $\vec{b}$ имеет координаты $(-1; 2)$. Конец вектора $\vec{c}$ имеет координаты $(c_1; c_2)$. 5. Абсолютная величина вектора $\vec{a} (5; m)$ равна 13, а вектора $\vec{b} (n; 24)$ равна 25. Найдите $m$ и $n$. Для вектора $\vec{a}(5; m)$: $$\sqrt{5^2 + m^2} = 13$$ $$25 + m^2 = 169$$ $$m^2 = 169 - 25$$ $$m^2 = 144$$ $$m = \pm 12$$ Для вектора $\vec{b}(n; 24)$: $$\sqrt{n^2 + 24^2} = 25$$ $$n^2 + 576 = 625$$ $$n^2 = 625 - 576$$ $$n^2 = 49$$ $$n = \pm 7$$ **Ответ:** $m = \pm 12$, $n = \pm 7$. 6. Даны точки $A (0; 1)$, $B (1; 0)$, $C (1; 2)$, $D (2; 1)$. Докажите равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$: $$(1-0; 0-1) = (1; -1)$$ Найдем координаты вектора $\vec{CD}$: $$(2-1; 1-2) = (1; -1)$$ Так как координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то и сами векторы равны. Доказано. 7. Даны три точки $A (1; 1)$, $B (-1; 0)$, $C (0; 1)$. Найдите такую точку $D (x; y)$, чтобы векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ были равны. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$: $$(-1-1; 0-1) = (-2; -1)$$ Пусть координаты точки $D$ будут $(x; y)$. Тогда координаты вектора $\vec{CD}$ будут: $$(x-0; y-1) = (x; y-1)$$ Для того чтобы векторы были равны, их соответствующие координаты должны быть равны: $$x = -2$$ $$y-1 = -1$$ $$y = -1 + 1$$ $$y = 0$$ **Ответ:** $D (-2; 0)$.