Вычислите: а) $\frac{3}{4} + \frac{4}{5}$

1. Вычислите: а) Чтобы сложить дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{5}$, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 5 — это 20. $$ \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{15+16}{20} = \frac{31}{20} = 1\frac{11}{20} $$ **Ответ: $1\frac{11}{20}$** б) Чтобы сложить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{7}$, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 7 — это 21. $$ \frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} + \frac{3}{21} = \frac{14+3}{21} = \frac{17}{21} $$ **Ответ: $\frac{17}{21}$** в) При сложении дроби с нулём, дробь не меняется. $$ \frac{2}{13} + 0 = \frac{2}{13} $$ **Ответ: $\frac{2}{13}$** г) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{2}{11}$, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 9 и 11 — это 99. $$ \frac{5}{9} + \frac{2}{11} = \frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} + \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{55}{99} + \frac{18}{99} = \frac{55+18}{99} = \frac{73}{99} $$ **Ответ: $\frac{73}{99}$** д) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{4}$, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 4 — это 12. $$ \frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{5+9}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} $$ **Ответ: $1\frac{1}{6}$** е) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 8 — это 24. $$ \frac{5}{6} + \frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{20+21}{24} = \frac{41}{24} = 1\frac{17}{24} $$ **Ответ: $1\frac{17}{24}$** 2. Найдите сумму: а) Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями: $$ \frac{1}{5} + \frac{2}{11} + \frac{4}{5} + \frac{7}{11} = (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) + (\frac{2}{11} + \frac{7}{11}) = \frac{1+4}{5} + \frac{2+7}{11} = \frac{5}{5} + \frac{9}{11} = 1 + \frac{9}{11} = 1\frac{9}{11} $$ **Ответ: $1\frac{9}{11}$** б) Приведём все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3, 18, 6 — это 18. $$ \frac{2}{3} + \frac{3}{18} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} + \frac{3}{18} + \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{7}{18} = \frac{12}{18} + \frac{3}{18} + \frac{15}{18} + \frac{7}{18} = \frac{12+3+15+7}{18} = \frac{37}{18} = 2\frac{1}{18} $$ **Ответ: $2\frac{1}{18}$** 3. Домашнее задание по математике Петя делал $\frac{1}{3}$ ч, задание по истории — $\frac{1}{4}$ ч, а задание по русскому языку — $\frac{5}{12}$ ч. а) Чтобы найти, сколько времени ушло у Пети на выполнение всех домашних заданий, нужно сложить время выполнения каждого задания. Время по математике: $\frac{1}{3}$ ч Время по истории: $\frac{1}{4}$ ч Время по русскому языку: $\frac{5}{12}$ ч Общее время: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}$. Общий знаменатель для 3, 4, 12 — это 12. $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{4+3+5}{12} = \frac{12}{12} = 1 $$ Значит, на все домашние задания ушёл 1 час. **Ответ: 1 час** б) Чтобы узнать, на сколько больше времени ушло на выполнение задания по русскому языку, чем задания по истории, нужно вычесть время на историю из времени на русский язык. Время по русскому языку: $\frac{5}{12}$ ч Время по истории: $\frac{1}{4}$ ч Разница во времени: $\frac{5}{12} - \frac{1}{4}$. Общий знаменатель для 12 и 4 — это 12. $$ \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5-3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$ Значит, на русский язык ушло на $\frac{1}{6}$ часа больше, чем на историю. **Ответ: на $\frac{1}{6}$ часа** в) Чтобы узнать, сколько времени ушло на выполнение заданий по истории и математике вместе, нужно сложить время выполнения этих заданий. Время по истории: $\frac{1}{4}$ ч Время по математике: $\frac{1}{3}$ ч Общее время: $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$. Общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12} $$ Значит, на задания по истории и математике вместе ушло $\frac{7}{12}$ часа. **Ответ: $\frac{7}{12}$ часа**