Разложите многочлен $x^4 - 5x^2 + 4$ на множители.

**556. Разложите многочлен $x^4 - 5x^2 + 4$ на множители.** Пусть $y = x^2$. Тогда многочлен примет вид: $$y^2 - 5y + 4$$ Находим корни квадратного уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$ с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$$ Корни уравнения: $$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Значит, $y^2 - 5y + 4 = (y - 1)(y - 4)$. Возвращаемся к $x^2$: $$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$$ Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$(x^2 - 1^2)(x^2 - 2^2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$$ **Ответ:** $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$ **557. Один из корней уравнения $x^2 - 14x + q = 0$ равен 6.** a) Чему равно $q$? Подставим известный корень $x_1 = 6$ в уравнение: $$6^2 - 14 \cdot 6 + q = 0$$ $$36 - 84 + q = 0$$ $$-48 + q = 0$$ $$q = 48$$ b) Чему равен второй корень уравнения? Используем теорему Виета. Для квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. У нас уравнение $x^2 - 14x + 48 = 0$. Значит, $p = -14$, $q = 48$. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-14) = 14$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 48$. Мы знаем $x_1 = 6$. $$6 + x_2 = 14$$ $$x_2 = 14 - 6$$ $$x_2 = 8$$ Проверим произведение корней: $6 \cdot 8 = 48$. Верно. **Ответ:** а) $q = 48$; б) $x_2 = 8$ **558. Сколько пар чисел $(m; n)$ удовлетворяет условиям $m + n = 2$ и $mn = -48$? Запишите эти пары.** У нас есть система уравнений: $$\begin{cases} m + n = 2 \\ mn = -48 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $m$: $m = 2 - n$. Подставим это во второе уравнение: $$(2 - n)n = -48$$ $$2n - n^2 = -48$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$n^2 - 2n - 48 = 0$$ Найдём корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $n_1 + n_2 = 2$, произведение $n_1 \cdot n_2 = -48$. Числа, удовлетворяющие этим условиям, это $8$ и $-6$. Если $n = 8$, то $m = 2 - 8 = -6$. Первая пара: $(-6; 8)$. Если $n = -6$, то $m = 2 - (-6) = 2 + 6 = 8$. Вторая пара: $(8; -6)$. **Ответ:** Две пары: $(-6; 8)$ и $(8; -6)$.