Решите выражение: $\frac{(-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2}{(-10x^3y^5)^0}$

1. $\frac{(-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2}{(-10x^3y^5)^0}$ Любое число (кроме нуля) в степени $0$ равно $1$. Значит, знаменатель равен $1$. $= (-4x^2y^3)^3 \cdot (-5x^2y^4)^2$ Возводим каждый множитель в степень: $= (-4)^3 (x^2)^3 (y^3)^3 \cdot (-5)^2 (x^2)^2 (y^4)^2$ $= -64 x^{2 \cdot 3} y^{3 \cdot 3} \cdot 25 x^{2 \cdot 2} y^{4 \cdot 2}$ $= -64 x^6 y^9 \cdot 25 x^4 y^8$ Перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $= (-64 \cdot 25) \cdot (x^6 \cdot x^4) \cdot (y^9 \cdot y^8)$ $= -1600 x^{6+4} y^{9+8}$ $= -1600 x^{10} y^{17}$ **Ответ:** $-1600 x^{10} y^{17}$ 2. $\frac{(-6a^5x^9)^3}{(4a^3x^4)^3 \cdot (-2ax^2)^5}$ Возводим каждый множитель в степень: $= \frac{(-6)^3 (a^5)^3 (x^9)^3}{(4)^3 (a^3)^3 (x^4)^3 \cdot (-2)^5 a^5 (x^2)^5}$ $= \frac{-216 a^{15} x^{27}}{64 a^9 x^{12} \cdot (-32) a^5 x^{10}}$ Перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями в знаменателе: $= \frac{-216 a^{15} x^{27}}{(64 \cdot (-32)) (a^9 \cdot a^5) (x^{12} \cdot x^{10})}$ $= \frac{-216 a^{15} x^{27}}{-2048 a^{14} x^{22}}$ Делим коэффициенты и вычитаем степени с одинаковыми основаниями: $= \frac{-216}{-2048} a^{15-14} x^{27-22}$ Сокращаем дробь $\frac{216}{2048}$. Оба числа делятся на $8$: $\frac{216 \div 8}{2048 \div 8} = \frac{27}{256}$ $= \frac{27}{256} a^1 x^5$ $= \frac{27}{256} ax^5$ **Ответ:** $\frac{27}{256} ax^5$ 3. $\frac{(3a^5b^3)^4 \cdot (2a^3b^2)^0}{(6a^4b^2)^5}$ Любое число (кроме нуля) в степени $0$ равно $1$. Значит, $(2a^3b^2)^0 = 1$. $= \frac{(3a^5b^3)^4 \cdot 1}{(6a^4b^2)^5}$ $= \frac{(3a^5b^3)^4}{(6a^4b^2)^5}$ Возводим каждый множитель в степень: $= \frac{3^4 (a^5)^4 (b^3)^4}{6^5 (a^4)^5 (b^2)^5}$ $= \frac{81 a^{20} b^{12}}{7776 a^{20} b^{10}}$ Делим коэффициенты и вычитаем степени с одинаковыми основаниями: $= \frac{81}{7776} a^{20-20} b^{12-10}$ $= \frac{81}{7776} a^0 b^2$ $a^0 = 1$, так как $a \neq 0$. $= \frac{81}{7776} b^2$ Сокращаем дробь $\frac{81}{7776}$. Оба числа делятся на $81$: $7776 \div 81 = 96$. $= \frac{1}{96} b^2$ **Ответ:** $\frac{1}{96} b^2$ 4. Решите уравнение: $\frac{(7x)^{11} \cdot (49x)^2 \cdot 7}{(7x^2)^3 \cdot (343x)^4} = 5$ Представим все числа как степени $7$: $49 = 7^2$ $343 = 7^3$ Подставляем это в уравнение: $\frac{(7x)^{11} \cdot (7^2x)^2 \cdot 7^1}{(7x^2)^3 \cdot (7^3x)^4} = 5$ Применяем свойство $(ab)^n = a^n b^n$: $\frac{7^{11}x^{11} \cdot (7^2)^2 x^2 \cdot 7^1}{7^3(x^2)^3 \cdot (7^3)^4 x^4} = 5$ $\frac{7^{11}x^{11} \cdot 7^4 x^2 \cdot 7^1}{7^3 x^6 \cdot 7^{12} x^4} = 5$ Складываем показатели степеней для одинаковых оснований в числителе и знаменателе: $\frac{7^{11+4+1} x^{11+2}}{7^{3+12} x^{6+4}} = 5$ $\frac{7^{16} x^{13}}{7^{15} x^{10}} = 5$ Вычитаем показатели степеней при делении: $7^{16-15} x^{13-10} = 5$ $7^1 x^3 = 5$ $7x^3 = 5$ Делим обе части на $7$: $x^3 = \frac{5}{7}$ Извлекаем кубический корень: $x = \sqrt[3]{\frac{5}{7}}$ **Ответ:** $x = \sqrt[3]{\frac{5}{7}}$