Запишите в стандартном виде многочлен: а) $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4 + 2ab \cdot 3b + b \cdot 3b^2 - 1$

**587. Запишите в стандартном виде многочлен:** а) $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4 + 2ab \cdot 3b + b \cdot 3b^2 - 1$ Сначала приведём подобные члены и перегруппируем их по степеням: $2a^2x^3 - a^2x^3 - ax^3 + ax^3 - a^4 + 2a^4 + 2ab \cdot 3b + b \cdot 3b^2 - 1$ Теперь выполним умножение и сложение: $a^2x^3 + a^4 + 6ab^2 + 3b^3 - 1$ Переставим члены так, чтобы степени были по убыванию (обычно сначала по $a$, потом по $x$, потом по $b$): $a^4 + a^2x^3 + 3b^3 + 6ab^2 - 1$ б) $5x \cdot 2y^2 - 5x \cdot 3xy - x^2y + 6xy^2$ Сначала выполним умножение: $10xy^2 - 15x^2y - x^2y + 6xy^2$ Затем приведём подобные члены: $(10xy^2 + 6xy^2) + (-15x^2y - x^2y)$ $16xy^2 - 16x^2y$ **588. Найдите значение многочлена:** а) $5x^6 - 3x^2 + 7 - 2x^6 - 3x^6 + 4x^2$ при $x = -10$ Сначала упростим многочлен, приведя подобные члены: $(5x^6 - 2x^6 - 3x^6) + (-3x^2 + 4x^2) + 7$ $0x^6 + x^2 + 7$ $x^2 + 7$ Теперь подставим $x = -10$: $(-10)^2 + 7 = 100 + 7 = 107$ **Ответ: 107** б) $4a^2b - ab^2 - 3a^2b + ab^2 - ab + 6$ при $a = -3, b = 2$ Сначала упростим многочлен, приведя подобные члены: $(4a^2b - 3a^2b) + (-ab^2 + ab^2) - ab + 6$ $a^2b + 0ab^2 - ab + 6$ $a^2b - ab + 6$ Теперь подставим $a = -3$ и $b = 2$: $(-3)^2 \cdot 2 - (-3) \cdot 2 + 6$ $9 \cdot 2 - (-6) + 6$ $18 + 6 + 6 = 30$ **Ответ: 30** **589. Найдите значение многочлена:** а) $6a^3 - a^{10} + 4a^3 + a^{10} - 8a^3 + a$ при $a = -3$ Сначала упростим многочлен, приведя подобные члены: $(6a^3 + 4a^3 - 8a^3) + (-a^{10} + a^{10}) + a$ $(10a^3 - 8a^3) + 0 + a$ $2a^3 + a$ Теперь подставим $a = -3$: $2 \cdot (-3)^3 + (-3)$ $2 \cdot (-27) - 3$ $-54 - 3 = -57$ **Ответ: -57** б) $4x^6y^3 - 3x^6y^3 + 2x^2y^2 - x^2y^2 + y$ при $x = -2, y = -1$ Сначала упростим многочлен, приведя подобные члены: $(4x^6y^3 - 3x^6y^3) + (2x^2y^2 - x^2y^2) + y$ $x^6y^3 + x^2y^2 + y$ Теперь подставим $x = -2$ и $y = -1$: $(-2)^6 \cdot (-1)^3 + (-2)^2 \cdot (-1)^2 + (-1)$ $64 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 - 1$ $-64 + 4 - 1 = -60 - 1 = -61$ **Ответ: -61** **590. Найдите значение многочлена $2x^2 + 1$ при $x=0; -2; 3; -4$. Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена равно нулю; отрицательно?** 1. Найдём значение многочлена при заданных $x$: При $x = 0$: $2 \cdot (0)^2 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$ При $x = -2$: $2 \cdot (-2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$ При $x = 3$: $2 \cdot (3)^2 + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19$ При $x = -4$: $2 \cdot (-4)^2 + 1 = 2 \cdot 16 + 1 = 32 + 1 = 33$ 2. Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена равно нулю? Чтобы найти такое значение, приравняем многочлен к нулю: $2x^2 + 1 = 0$ $2x^2 = -1$ $x^2 = -\frac{1}{2}$ Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то нет действительного значения $x$, при котором $x^2 = -\frac{1}{2}$. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором значение многочлена равно нулю. **Ответ: Нет** 3. Существует ли такое значение $x$, при котором значение многочлена отрицательно? Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Тогда $2x^2 \ge 0$. Следовательно, $2x^2 + 1 \ge 1$ для любого действительного $x$. Значит, многочлен $2x^2 + 1$ всегда будет больше или равен 1, то есть всегда будет положительным числом. Он никогда не может быть отрицательным. **Ответ: Нет** **591. Докажите, что многочлен $x^2 + y^2 + 1$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает положительные значения.** Мы знаем, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть: $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$. Тогда сумма $x^2 + y^2$ также будет неотрицательна: $x^2 + y^2 \ge 0$. Если мы добавим к этой сумме 1, то получим: $x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$ $x^2 + y^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то многочлен $x^2 + y^2 + 1$ всегда будет больше или равен 1, а значит, всегда будет принимать только положительные значения при любых действительных значениях $x$ и $y$. Что и требовалось доказать. **592. Запишите в виде многочлена число, состоящее из:** а) $a$ десятков и $b$ единиц. Число, состоящее из $a$ десятков и $b$ единиц, можно записать как $a \cdot 10 + b \cdot 1$. **Ответ: $10a + b$** б) $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц. Число, состоящее из $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц, можно записать как $a \cdot 100 + b \cdot 10 + c \cdot 1$. **Ответ: $100a + 10b + c$**