Представьте степени с дробным показателем в виде корней: а) $4x^{\frac{3}{7}}$

1. Представьте степени с дробным показателем в виде корней: a) $4x^{\frac{3}{7}} = 4\sqrt[7]{x^3}$ б) $(4x)^{1.5} = (4x)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(4x)^3}$ 2. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем: а) $\sqrt[5]{2a^2} = (2a^2)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}a^{\frac{2}{5}}$ б) $\frac{1}{\sqrt[4]{a^{-3}}} = \frac{1}{a^{-\frac{3}{4}}} = a^{\frac{3}{4}}$ 3. Вычислите: а) $\frac{100^{1.3} \cdot 100^{\frac{2}{15}}}{100^{\frac{2}{3}}} = \frac{100^{\frac{13}{10}} \cdot 100^{\frac{2}{15}}}{100^{\frac{2}{3}}} = 100^{\frac{13}{10} + \frac{2}{15} - \frac{2}{3}} = 100^{\frac{39+4-20}{30}} = 100^{\frac{23}{30}}$ б) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{1}{4}} \cdot \left(3^\frac{4}{3}\right)^2 = (9)^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{8}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{8}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{8}{3}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{8}{3}} = 3^{\frac{3+16}{6}} = 3^{\frac{19}{6}}$ в) $\left(\frac{1}{49}\right)^{-0.5} - 0.09 = (49)^{0.5} - 0.09 = \sqrt{49} - 0.09 = 7 - 0.09 = 6.91$ 4. Упростите выражения: а) $(16a^{1.5})^{\frac{2}{3}} = (16a^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}} \cdot (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 16^{\frac{2}{3}} \cdot a^1 = (\sqrt[3]{16})^2 a = (2\sqrt[3]{2})^2 a = 4\sqrt[3]{4}a$ б) $a^{-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{5}{6}} \cdot (a^{0.5} \cdot b^{\frac{1}{18}})^3 = a^{-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{5}{6}} \cdot a^{0.5 \cdot 3} \cdot b^{\frac{1}{18} \cdot 3} = a^{-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{3}{18}} = a^{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{2}} \cdot b^{\frac{6}{6}} = a^1 \cdot b^1 = ab$ 5. При каких значениях y имеет смысл выражение: $(y-2)^\frac{3}{4} + (1+y)^\frac{1}{2}$? Выражение $(y-2)^\frac{3}{4}$ имеет смысл, когда $y-2 \ge 0$, то есть $y \ge 2$. Выражение $(1+y)^\frac{1}{2}$ имеет смысл, когда $1+y \ge 0$, то есть $y \ge -1$. Чтобы оба выражения имели смысл, $y$ должно удовлетворять обоим условиям, то есть $y \ge 2$. **Ответ: $y \ge 2$**