Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

813. Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Доказательство: Пусть у нас есть две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{c}$, где $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ и $b < c$. Нам нужно доказать, что $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$. Чтобы сравнить дроби, мы можем привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $bc$. $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{ac}{bc}$ $\frac{a}{c} = \frac{a \cdot b}{c \cdot b} = \frac{ab}{bc}$ Теперь мы сравниваем $\frac{ac}{bc}$ и $\frac{ab}{bc}$. Так как знаменатели у этих дробей одинаковые ($bc$), то больше будет та дробь, у которой больше числитель. То есть, нам нужно сравнить $ac$ и $ab$. По условию задачи, мы знаем, что $a > 0$ и $b < c$. Если мы умножим обе части неравенства $b < c$ на положительное число $a$, то знак неравенства не изменится: $a \cdot b < a \cdot c$ $ab < ac$ Так как $ab < ac$, то $\frac{ab}{bc} < \frac{ac}{bc}$. Следовательно, $\frac{a}{c} < \frac{a}{b}$. Значит, из двух дробей с равными числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Это доказано. 814. Сравните дроби с числом 1, а затем между собой: а) $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{5}$ Сравнение с 1: $\frac{1}{2} < 1$ (так как $1 < 2$) $\frac{6}{5} > 1$ (так как $6 > 5$) Сравнение между собой: $\frac{1}{2} < 1 < \frac{6}{5}$, значит $\frac{1}{2} < \frac{6}{5}$ б) $\frac{6}{7}$ и $\frac{7}{6}$ Сравнение с 1: $\frac{6}{7} < 1$ (так как $6 < 7$) $\frac{7}{6} > 1$ (так как $7 > 6$) Сравнение между собой: $\frac{6}{7} < 1 < \frac{7}{6}$, значит $\frac{6}{7} < \frac{7}{6}$ в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$ Сравнение с 1: $\frac{2}{5} < 1$ (так как $2 < 5$) $\frac{5}{2} > 1$ (так как $5 > 2$) Сравнение между собой: $\frac{2}{5} < 1 < \frac{5}{2}$, значит $\frac{2}{5} < \frac{5}{2}$ г) $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{3}$ Сравнение с 1: $\frac{3}{5} < 1$ (так как $3 < 5$) $\frac{7}{3} > 1$ (так как $7 > 3$) Сравнение между собой: $\frac{3}{5} < 1 < \frac{7}{3}$, значит $\frac{3}{5} < \frac{7}{3}$ д) $\frac{17}{13}$ и $\frac{7}{8}$ Сравнение с 1: $\frac{17}{13} > 1$ (так как $17 > 13$) $\frac{7}{8} < 1$ (так как $7 < 8$) Сравнение между собой: $\frac{7}{8} < 1 < \frac{17}{13}$, значит $\frac{7}{8} < \frac{17}{13}$ е) $\frac{8}{7}$ и $\frac{8}{9}$ Сравнение с 1: $\frac{8}{7} > 1$ (так как $8 > 7$) $\frac{8}{9} < 1$ (так как $8 < 9$) Сравнение между собой: $\frac{8}{9} < 1 < \frac{8}{7}$, значит $\frac{8}{9} < \frac{8}{7}$ ж) $\frac{78}{77}$ и $\frac{77}{78}$ Сравнение с 1: $\frac{78}{77} > 1$ (так как $78 > 77$) $\frac{77}{78} < 1$ (так как $77 < 78$) Сравнение между собой: $\frac{77}{78} < 1 < \frac{78}{77}$, значит $\frac{77}{78} < \frac{78}{77}$ з) $\frac{89}{90}$ и $\frac{90}{89}$ Сравнение с 1: $\frac{89}{90} < 1$ (так как $89 < 90$) $\frac{90}{89} > 1$ (так как $90 > 89$) Сравнение между собой: $\frac{89}{90} < 1 < \frac{90}{89}$, значит $\frac{89}{90} < \frac{90}{89}$ 815. Сравните дроби с числом $\frac{1}{2}$, а затем между собой: а) $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{2}$ Сравнение с $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ (так как $1 \cdot 2 < 4 \cdot 1$, то $2 < 4$) $\frac{3}{2} > \frac{1}{2}$ (так как $3 \cdot 2 > 2 \cdot 1$, то $6 > 2$) Сравнение между собой: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$, значит $\frac{1}{4} < \frac{3}{2}$ б) $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{6}$ Сравнение с $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ (так как $1 \cdot 2 < 4 \cdot 1$, то $2 < 4$) $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$ (так как $5 \cdot 2 > 6 \cdot 1$, то $10 > 6$) Сравнение между собой: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{5}{6}$, значит $\frac{1}{4} < \frac{5}{6}$ в) $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{8}$ Сравнение с $\frac{1}{2}$: $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Приведём к общему знаменателю 10: $\frac{4}{10}$ и $\frac{5}{10}$. Значит, $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$. $\frac{5}{8}$ и $\frac{1}{2}$. Приведём к общему знаменателю 8: $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{8}$. Значит, $\frac{5}{8} > \frac{1}{2}$. Сравнение между собой: $\frac{2}{5} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8}$, значит $\frac{2}{5} < \frac{5}{8}$