Найдите множество решений неравенства

а) $$3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3$$ Перенесём все члены неравенства в левую часть: $$3x^2 + x^2 + 40x - 11x + 10 - 3 < 0$$ $$4x^2 + 29x + 7 < 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $4x^2 + 29x + 7 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 841 - 112 = 729$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - 27}{2 \cdot 4} = \frac{-56}{8} = -7$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + 27}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$$ Так как парабола $4x^2 + 29x + 7$ направлена ветвями вверх ($a=4 > 0$) и мы ищем значения, где функция меньше нуля, то решение неравенства будет между корнями. **Ответ: $(-7; -0.25)$** б) $$9x^2 - x + 9 \ge 3x^2 + 18x - 6$$ Перенесём все члены неравенства в левую часть: $$9x^2 - 3x^2 - x - 18x + 9 + 6 \ge 0$$ $$6x^2 - 19x + 15 \ge 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $6x^2 - 19x + 15 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-19) - 1}{2 \cdot 6} = \frac{19 - 1}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-19) + 1}{2 \cdot 6} = \frac{19 + 1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$ Так как парабола $6x^2 - 19x + 15$ направлена ветвями вверх ($a=6 > 0$) и мы ищем значения, где функция больше или равна нулю, то решение неравенства будет вне корней, включая корни. **Ответ: $(-\infty; 1.5] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$** в) $$2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)$$ Раскроем скобки в правой части: $$(3x - 5)(2x + 6) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 6 - 5 \cdot 2x - 5 \cdot 6 = 6x^2 + 18x - 10x - 30 = 6x^2 + 8x - 30$$ Теперь подставим это в неравенство: $$2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30$$ Перенесём все члены неравенства в правую часть для удобства: $$0 < 6x^2 - 2x^2 + 8x - 8x - 30 + 111$$ $$0 < 4x^2 + 81$$ $$4x^2 + 81 > 0$$ Квадрат числа $x^2$ всегда больше или равен нулю, поэтому $4x^2$ всегда больше или равен нулю. Добавив к нему 81, мы всегда получим число, строго больше нуля. **Ответ: $(-\infty; +\infty)$** г) $$(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)$$ Раскроем скобки в обеих частях неравенства: Левая часть: $$(5x + 1)(3x - 1) = 5x \cdot 3x + 5x \cdot (-1) + 1 \cdot 3x + 1 \cdot (-1) = 15x^2 - 5x + 3x - 1 = 15x^2 - 2x - 1$$ Правая часть: $$(4x - 1)(x + 2) = 4x \cdot x + 4x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2$$ Теперь подставим это в неравенство: $$15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2$$ Перенесём все члены неравенства в левую часть: $$15x^2 - 4x^2 - 2x - 7x - 1 + 2 > 0$$ $$11x^2 - 9x + 1 > 0$$ Найдём корни квадратного уравнения $11x^2 - 9x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{37}$$ $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) - \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) + \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}$$ Приблизительные значения корней: $\sqrt{37} \approx 6.08$ $$x_1 \approx \frac{9 - 6.08}{22} = \frac{2.92}{22} \approx 0.13$$ $$x_2 \approx \frac{9 + 6.08}{22} = \frac{15.08}{22} \approx 0.68$$ Так как парабола $11x^2 - 9x + 1$ направлена ветвями вверх ($a=11 > 0$) и мы ищем значения, где функция больше нуля, то решение неравенства будет вне корней. **Ответ: $(-\infty; \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}; +\infty)$**