Решите уравнение (x+4)^2 = 3x + 40

а) Решим уравнение $$(x+4)^2 = 3x + 40$$Раскроем скобки:$$x^2 + 8x + 16 = 3x + 40$$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$$x^2 + 8x - 3x + 16 - 40 = 0$$$$x^2 + 5x - 24 = 0$$Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$Найдем корни уравнения:$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 11}{2}$$$$x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$$$x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$**Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -8$** б) Решим уравнение $$(2p-3)^2 = 11p - 19$$Раскроем скобки:$$4p^2 - 12p + 9 = 11p - 19$$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$$4p^2 - 12p - 11p + 9 + 19 = 0$$$$4p^2 - 23p + 28 = 0$$Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 - 448 = 81$$Найдем корни уравнения:$$p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-23) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{23 \pm 9}{8}$$$$p_1 = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4$$$$p_2 = \frac{23 - 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$$**Ответ: $p_1 = 4$, $p_2 = 1.75$** в) Решим уравнение $$3(x+4)^2 = 10x + 32$$Раскроем скобки:$$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$$$$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$$$$3x^2 + 14x + 16 = 0$$Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$$Найдем корни уравнения:$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 2}{6}$$$$x_1 = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$$$x_2 = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$$**Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -2\frac{2}{3}$** г) Решим уравнение $$15y^2 + 17 = 15(y+1)^2$$Раскроем скобки:$$15y^2 + 17 = 15(y^2 + 2y + 1)$$$$15y^2 + 17 = 15y^2 + 30y + 15$$Перенесем все члены с $y$ в одну сторону, а числа в другую:$$15y^2 - 15y^2 - 30y = 15 - 17$$$$-30y = -2$$$$y = \frac{-2}{-30}$$$$y = \frac{1}{15}$$**Ответ: $y = \frac{1}{15}$** д) Решим уравнение $$(x+1)^2 = 7918 - 2x$$Раскроем скобки:$$x^2 + 2x + 1 = 7918 - 2x$$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$$x^2 + 2x + 2x + 1 - 7918 = 0$$$$x^2 + 4x - 7917 = 0$$Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684$$Найдем корни уравнения:$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{31684}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 178}{2}$$$$x_1 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87$$$$x_2 = \frac{-4 - 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91$$**Ответ: $x_1 = 87$, $x_2 = -91$** е) Решим уравнение $$(m+2)^2 = 3131 - 2m$$Раскроем скобки:$$m^2 + 4m + 4 = 3131 - 2m$$Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:$$m^2 + 4m + 2m + 4 - 3131 = 0$$$$m^2 + 6m - 3127 = 0$$Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3127) = 36 + 12508 = 12544$$Найдем корни уравнения:$$m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12544}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 112}{2}$$$$m_1 = \frac{-6 + 112}{2} = \frac{106}{2} = 53$$$$m_2 = \frac{-6 - 112}{2} = \frac{-118}{2} = -59$$**Ответ: $m_1 = 53$, $m_2 = -59$** ж) Решим уравнение $$(x+1)^2 = (2x-1)^2$$Перенесем все члены в левую часть: $$(x+1)^2 - (2x-1)^2 = 0$$Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$$((x+1) - (2x-1))((x+1) + (2x-1)) = 0$$$$(x+1-2x+1)(x+1+2x-1) = 0$$$$(-x+2)(3x) = 0$$Получаем два случая: 1) $-x+2 = 0 \Rightarrow x = 2$ 2) $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ **Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 0$** з) Решим уравнение $$(n-2)^2 + 48 = (2-3n)^2$$Раскроем скобки:$$n^2 - 4n + 4 + 48 = 4 - 12n + 9n^2$$$$n^2 - 4n + 52 = 9n^2 - 12n + 4$$Перенесем все члены в правую часть:$$0 = 9n^2 - n^2 - 12n + 4n + 4 - 52$$$$0 = 8n^2 - 8n - 48$$Разделим все на 8:$$0 = n^2 - n - 6$$Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$Найдем корни уравнения:$$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}$$$$n_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$$$n_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$**Ответ: $n_1 = 3$, $n_2 = -2$**