Решите уравнение $4^{x-1} = 1$

1) $4^{x-1} = 1$ $4^{x-1} = 4^0$ $x-1 = 0$ $x = 1$ **Ответ:** $x = 1$ 2) $0,3^{3x-2} = 1$ $0,3^{3x-2} = 0,3^0$ $3x-2 = 0$ $3x = 2$ $x = \frac{2}{3}$ **Ответ:** $x = \frac{2}{3}$ 3) $2^{2x} = 2^4 \cdot \sqrt{3}$ Допущение: вероятно, в задании была опечатка и вместо $\sqrt{3}$ должно быть $2^{\frac{1}{2}}$. Тогда: $2^{2x} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ $2^{2x} = 2^{4 + \frac{1}{2}}$ $2^{2x} = 2^{\frac{9}{2}}$ $2x = \frac{9}{2}$ $x = \frac{9}{4}$ **Ответ:** $x = \frac{9}{4}$ (с допущением) 4) $(\frac{1}{3})^{3x} = (\frac{1}{3})^{-2}$ $3x = -2$ $x = -\frac{2}{3}$ **Ответ:** $x = -\frac{2}{3}$ 1) $27^x = \frac{1}{3}$ $(3^3)^x = 3^{-1}$ $3^{3x} = 3^{-1}$ $3x = -1$ $x = -\frac{1}{3}$ **Ответ:** $x = -\frac{1}{3}$ 2) $400^x = \frac{1}{20}$ $(20^2)^x = 20^{-1}$ $20^{2x} = 20^{-1}$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ **Ответ:** $x = -\frac{1}{2}$ 3) $(\frac{1}{5})^x = 25$ $5^{-x} = 5^2$ $-x = 2$ $x = -2$ **Ответ:** $x = -2$ 4) $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$ $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^4$ $x = 4$ **Ответ:** $x = 4$ 1) $3 \cdot 9^x = 81$ $3 \cdot (3^2)^x = 3^4$ $3 \cdot 3^{2x} = 3^4$ $3^{1+2x} = 3^4$ $1+2x = 4$ $2x = 3$ $x = \frac{3}{2}$ **Ответ:** $x = \frac{3}{2}$ 2) $2 \cdot 4^x = 64$ $2 \cdot (2^2)^x = 2^6$ $2 \cdot 2^{2x} = 2^6$ $2^{1+2x} = 2^6$ $1+2x = 6$ $2x = 5$ $x = \frac{5}{2}$ **Ответ:** $x = \frac{5}{2}$ 3) $3^{x+1} \cdot 3^{x-2} = 1$ $3^{x+1+x-2} = 3^0$ $3^{2x-1} = 3^0$ $2x-1 = 0$ $2x = 1$ $x = \frac{1}{2}$ **Ответ:** $x = \frac{1}{2}$ 4) $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2$ $0,5^{x+7+1-2x} = 2$ $0,5^{8-x} = 2$ $(\frac{1}{2})^{8-x} = 2^1$ $2^{-(8-x)} = 2^1$ $-8+x = 1$ $x = 9$ **Ответ:** $x = 9$ 5) $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5}$ $0,6^{x+3} = 0,6^{2x-5}$ $x+3 = 2x-5$ $3+5 = 2x-x$ $x = 8$ **Ответ:** $x = 8$ 6) $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot (\frac{1}{6})^{2x}$ $6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^1 \cdot 6^{-2x}$ $6^{3x-1} = 6^{1-2x}$ $3x-1 = 1-2x$ $3x+2x = 1+1$ $5x = 2$ $x = \frac{2}{5}$ **Ответ:** $x = \frac{2}{5}$ 1) $3^{2x-1} + 3^{2x} = 108$ $3^{2x} \cdot 3^{-1} + 3^{2x} = 108$ $3^{2x} (\frac{1}{3} + 1) = 108$ $3^{2x} (\frac{4}{3}) = 108$ $3^{2x} = 108 \cdot \frac{3}{4}$ $3^{2x} = 27 \cdot 3$ $3^{2x} = 81$ $3^{2x} = 3^4$ $2x = 4$ $x = 2$ **Ответ:** $x = 2$ 2) $2^{3x+2} - 2^{3x-2} = 30$ $2^{3x} \cdot 2^2 - 2^{3x} \cdot 2^{-2} = 30$ $2^{3x} (4 - \frac{1}{4}) = 30$ $2^{3x} (\frac{16-1}{4}) = 30$ $2^{3x} (\frac{15}{4}) = 30$ $2^{3x} = 30 \cdot \frac{4}{15}$ $2^{3x} = 2 \cdot 4$ $2^{3x} = 8$ $2^{3x} = 2^3$ $3x = 3$ $x = 1$ **Ответ:** $x = 1$ 3) $2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28$ $2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^{-1} + 2^x = 28$ $2^x (2 + \frac{1}{2} + 1) = 28$ $2^x (3 + \frac{1}{2}) = 28$ $2^x (\frac{7}{2}) = 28$ $2^x = 28 \cdot \frac{2}{7}$ $2^x = 4 \cdot 2$ $2^x = 8$ $2^x = 2^3$ $x = 3$ **Ответ:** $x = 3$ 4) $3^{x-1} - 3^x + 3^{x+1} = 63$ $3^x \cdot 3^{-1} - 3^x + 3^x \cdot 3^1 = 63$ $3^x (\frac{1}{3} - 1 + 3) = 63$ $3^x (\frac{1}{3} + 2) = 63$ $3^x (\frac{1+6}{3}) = 63$ $3^x (\frac{7}{3}) = 63$ $3^x = 63 \cdot \frac{3}{7}$ $3^x = 9 \cdot 3$ $3^x = 27$ $3^x = 3^3$ $x = 3$ **Ответ:** $x = 3$ 1) $5^x = 8^x$ Поделим обе части на $8^x$ (так как $8^x \neq 0$): $(\frac{5}{8})^x = 1$ $(\frac{5}{8})^x = (\frac{5}{8})^0$ $x = 0$ **Ответ:** $x = 0$ 2) $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{3})^x$ Поделим обе части на $(\frac{1}{3})^x$ (так как $(\frac{1}{3})^x \neq 0$): $\frac{(\frac{1}{2})^x}{(\frac{1}{3})^x} = 1$ $(\frac{1/2}{1/3})^x = 1$ $(\frac{3}{2})^x = 1$ $(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0$ $x = 0$ **Ответ:** $x = 0$ 3) $3^x = 5^{2x}$ $3^x = (5^2)^x$ $3^x = 25^x$ Поделим обе части на $25^x$ (так как $25^x \neq 0$): $(\frac{3}{25})^x = 1$ $(\frac{3}{25})^x = (\frac{3}{25})^0$ $x = 0$ **Ответ:** $x = 0$ 4) $4^x = 3^{2x}$ $4^x = (3^2)^x$ $4^x = 9^x$ Поделим обе части на $9^x$ (так как $9^x \neq 0$): $(\frac{4}{9})^x = 1$ $(\frac{4}{9})^x = (\frac{4}{9})^0$ $x = 0$ **Ответ:** $x = 0$ 1) $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ $(3^2)^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ Пусть $y = 3^x$. Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 4y + 3 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$ $y_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$ $y_1 = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $y_2 = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Вернемся к замене $y = 3^x$: Для $y_1 = 3$: $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$ Для $y_2 = 1$: $3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0$ **Ответ:** $x = 0, x = 1$ 2) $16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ $(4^2)^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ $(4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0$ Пусть $y = 4^x$. Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 17y + 16 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$ $y_{1,2} = \frac{-(-17) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 15}{2}$ $y_1 = \frac{17+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ $y_2 = \frac{17-15}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Вернемся к замене $y = 4^x$: Для $y_1 = 16$: $4^x = 16 \Rightarrow 4^x = 4^2 \Rightarrow x = 2$ Для $y_2 = 1$: $4^x = 1 \Rightarrow 4^x = 4^0 \Rightarrow x = 0$ **Ответ:** $x = 0, x = 2$ 3) $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$ $(5^2)^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$ $(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$ Пусть $y = 5^x$. Тогда уравнение примет вид: $y^2 - 6y + 5 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ $y_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4}{2}$ $y_1 = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $y_2 = \frac{6-4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Вернемся к замене $y = 5^x$: Для $y_1 = 5$: $5^x = 5 \Rightarrow x = 1$ Для $y_2 = 1$: $5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow x = 0$ **Ответ:** $x = 0, x = 1$ 4) $64^x - 8^x - 56 = 0$ $(8^2)^x - 8^x - 56 = 0$ $(8^x)^2 - 8^x - 56 = 0$ Пусть $y = 8^x$. Тогда уравнение примет вид: $y^2 - y - 56 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$ $y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 15}{2}$ $y_1 = \frac{1+15}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $y_2 = \frac{1-15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ Вернемся к замене $y = 8^x$: Для $y_1 = 8$: $8^x = 8 \Rightarrow x = 1$ Для $y_2 = -7$: $8^x = -7$. Это уравнение не имеет решений, так как $8^x$ всегда положительно. **Ответ:** $x = 1$ 1) $3^{x^2+x-12} = 1$ $3^{x^2+x-12} = 3^0$ $x^2+x-12 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$ $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$ $x_1 = \frac{-1+7}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-1-7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ **Ответ:** $x = -4, x = 3$ 2) $2^{x^2-7x+10} = 1$ $2^{x^2-7x+10} = 2^0$ $x^2-7x+10 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$ $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$ $x_1 = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $x_2 = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ **Ответ:** $x = 2, x = 5$ 3) $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 4$ $2^{\frac{x-1}{x-2}} = 2^2$ $\frac{x-1}{x-2} = 2$ При условии $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. $x-1 = 2(x-2)$ $x-1 = 2x-4$ $-1+4 = 2x-x$ $x = 3$ Проверим, не является ли $x=2$ корнем: $3 \neq 2$. **Ответ:** $x = 3$ 4) $0,5^x = 4^{x+1}$ $(\frac{1}{2})^x = (2^2)^{x+1}$ $2^{-x} = 2^{2(x+1)}$ $2^{-x} = 2^{2x+2}$ $-x = 2x+2$ $-x-2x = 2$ $-3x = 2$ $x = -\frac{2}{3}$ **Ответ:** $x = -\frac{2}{3}$ 1) $0,3^{x^3-x^2+x-1} = 1$ $0,3^{x^3-x^2+x-1} = 0,3^0$ $x^3-x^2+x-1 = 0$ Сгруппируем члены: $x^2(x-1) + 1(x-1) = 0$ $(x-1)(x^2+1) = 0$ Это уравнение имеет один действительный корень $x-1=0$, то есть $x=1$. Выражение $x^2+1$ всегда больше 0, поэтому других действительных корней нет. **Ответ:** $x = 1$ 2) $(\frac{2}{3})^{-x^2-2x+3} = 1$ $(\frac{2}{3})^{-x^2-2x+3} = (\frac{2}{3})^0$ $-x^2-2x+3 = 0$ Умножим на -1: $x^2+2x-3 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$ $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$ $x_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ **Ответ:** $x = -3, x = 1$