Найдите значение выражения: $(\frac{11}{24} + \frac{3}{16}) \cdot 48$

1. Найдите значение выражения: 1) $(\frac{11}{24} + \frac{3}{16}) \cdot 48$ Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Для чисел 24 и 16 наименьший общий знаменатель равен 48. $$\frac{11}{24} = \frac{11 \cdot 2}{24 \cdot 2} = \frac{22}{48}$$ $$\frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{9}{48}$$ Теперь сложим дроби: $$\frac{22}{48} + \frac{9}{48} = \frac{22 + 9}{48} = \frac{31}{48}$$ Умножим полученную сумму на 48: $$\frac{31}{48} \cdot 48 = 31$$ **Ответ: 31** 2) $(\frac{1}{7} + \frac{1}{4} - \frac{3}{14}) \cdot 28$ Общий знаменатель для 7, 4 и 14 равен 28. $$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{4}{28}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28}$$ $$\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{6}{28}$$ Теперь выполним действия в скобках: $$\frac{4}{28} + \frac{7}{28} - \frac{6}{28} = \frac{4 + 7 - 6}{28} = \frac{11 - 6}{28} = \frac{5}{28}$$ Умножим полученную сумму на 28: $$\frac{5}{28} \cdot 28 = 5$$ **Ответ: 5** 3) $(\frac{3}{26} + \frac{5}{39}) \cdot 13$ Общий знаменатель для 26 и 39 равен 78 (26 = 2 * 13, 39 = 3 * 13, НОК = 2 * 3 * 13 = 78). $$\frac{3}{26} = \frac{3 \cdot 3}{26 \cdot 3} = \frac{9}{78}$$ $$\frac{5}{39} = \frac{5 \cdot 2}{39 \cdot 2} = \frac{10}{78}$$ Теперь сложим дроби: $$\frac{9}{78} + \frac{10}{78} = \frac{19}{78}$$ Умножим полученную сумму на 13: $$\frac{19}{78} \cdot 13 = \frac{19 \cdot 13}{78} = \frac{19 \cdot 13}{6 \cdot 13} = \frac{19}{6}$$ Выделим целую часть: $$\frac{19}{6} = 3\frac{1}{6}$$ **Ответ: $3\frac{1}{6}$** 4) $(\frac{11}{45} - \frac{8}{75}) \cdot 90$ Общий знаменатель для 45 и 75 равен 225 (45 = 3² * 5, 75 = 3 * 5², НОК = 3² * 5² = 9 * 25 = 225). $$\frac{11}{45} = \frac{11 \cdot 5}{45 \cdot 5} = \frac{55}{225}$$ $$\frac{8}{75} = \frac{8 \cdot 3}{75 \cdot 3} = \frac{24}{225}$$ Теперь вычтем дроби: $$\frac{55}{225} - \frac{24}{225} = \frac{55 - 24}{225} = \frac{31}{225}$$ Умножим полученную разность на 90: $$\frac{31}{225} \cdot 90 = \frac{31 \cdot 90}{225}$$ Разложим 90 и 225 на множители: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $225 = 3^2 \cdot 5^2$. $$\frac{31 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 5)}{3^2 \cdot 5^2} = \frac{31 \cdot 2}{5} = \frac{62}{5}$$ Выделим целую часть: $$\frac{62}{5} = 12\frac{2}{5}$$ **Ответ: $12\frac{2}{5}$** 2. Найдите произведение, используя распределительное свойство умножения: 1) $5\frac{1}{9} \cdot 4$ Преобразуем смешанное число в неправильную дробь или используем распределительное свойство: $$5\frac{1}{9} \cdot 4 = (5 + \frac{1}{9}) \cdot 4 = 5 \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot 4 = 20 + \frac{4}{9} = 20\frac{4}{9}$$ **Ответ: $20\frac{4}{9}$** 2) $8 \cdot 1\frac{2}{31}$ Используем распределительное свойство: $$8 \cdot 1\frac{2}{31} = 8 \cdot (1 + \frac{2}{31}) = 8 \cdot 1 + 8 \cdot \frac{2}{31} = 8 + \frac{16}{31} = 8\frac{16}{31}$$ **Ответ: $8\frac{16}{31}$** 3) $6\frac{3}{8} \cdot 8$ Используем распределительное свойство: $$6\frac{3}{8} \cdot 8 = (6 + \frac{3}{8}) \cdot 8 = 6 \cdot 8 + \frac{3}{8} \cdot 8 = 48 + 3 = 51$$ **Ответ: 51** 4) $4 \cdot 3\frac{3}{16}$ Используем распределительное свойство: $$4 \cdot 3\frac{3}{16} = 4 \cdot (3 + \frac{3}{16}) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3}{16} = 12 + \frac{12}{16} = 12 + \frac{3}{4} = 12\frac{3}{4}$$ **Ответ: $12\frac{3}{4}$** 3. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: 1) $4\frac{2}{9} \cdot 2\frac{4}{7} + 1\frac{2}{9} \cdot 2\frac{4}{7}$ Здесь можно вынести общий множитель $2\frac{4}{7}$ за скобки: $$2\frac{4}{7} \cdot (4\frac{2}{9} + 1\frac{2}{9})$$ Сложим числа в скобках: $$4\frac{2}{9} + 1\frac{2}{9} = (4+1) + (\frac{2}{9} + \frac{2}{9}) = 5 + \frac{4}{9} = 5\frac{4}{9}$$ Теперь перемножим: $$2\frac{4}{7} \cdot 5\frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} \cdot \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{14 + 4}{7} \cdot \frac{45 + 4}{9} = \frac{18}{7} \cdot \frac{49}{9}$$ Сократим дроби: $$\frac{18}{7} \cdot \frac{49}{9} = \frac{18}{9} \cdot \frac{49}{7} = 2 \cdot 7 = 14$$ **Ответ: 14** 2) $2\frac{5}{6} \cdot 6\frac{2}{3} + \frac{3}{10} \cdot 6\frac{2}{3} - 6\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{3}$ Здесь общий множитель $6\frac{2}{3}$. Вынесем его за скобки: $$6\frac{2}{3} \cdot (2\frac{5}{6} + \frac{3}{10} - 1\frac{1}{3})$$ Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и найдём общий знаменатель для дробей в скобках. Общий знаменатель для 6, 10, 3 равен 30. $$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6} = \frac{17 \cdot 5}{30} = \frac{85}{30}$$ $$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 10}{30} = \frac{40}{30}$$ $$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{30} = \frac{9}{30}$$ Выполним действия в скобках: $$\frac{85}{30} + \frac{9}{30} - \frac{40}{30} = \frac{85 + 9 - 40}{30} = \frac{94 - 40}{30} = \frac{54}{30}$$ Теперь умножим на $6\frac{2}{3}$ (переведём в неправильную дробь): $$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$$ $$\frac{20}{3} \cdot \frac{54}{30} = \frac{20 \cdot 54}{3 \cdot 30}$$ Сократим: $$\frac{20}{30} \cdot \frac{54}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{54}{3} = \frac{2 \cdot 18 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 18}{3} = 2 \cdot 6 = 12$$ **Ответ: 12** 4. Упростите выражение: 1) $\frac{11}{18}b - \frac{5}{18}b$ Вынесем общий множитель $b$ за скобки: $$b \cdot (\frac{11}{18} - \frac{5}{18}) = b \cdot (\frac{11 - 5}{18}) = b \cdot \frac{6}{18} = b \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}b$$ **Ответ: $\frac{1}{3}b$** 2) $\frac{5}{14}y + \frac{9}{28}y$ Вынесем общий множитель $y$ за скобки. Приведём дроби к общему знаменателю (28). $$y \cdot (\frac{5}{14} + \frac{9}{28}) = y \cdot (\frac{5 \cdot 2}{14 \cdot 2} + \frac{9}{28}) = y \cdot (\frac{10}{28} + \frac{9}{28}) = y \cdot (\frac{10 + 9}{28}) = y \cdot \frac{19}{28} = \frac{19}{28}y$$ **Ответ: $\frac{19}{28}y$** 3) $\frac{5}{18}c + \frac{7}{24}c - \frac{11}{36}c$ Вынесем общий множитель $c$ за скобки. Найдём общий знаменатель для 18, 24 и 36. НОК(18, 24, 36) = 72. $$c \cdot (\frac{5}{18} + \frac{7}{24} - \frac{11}{36})$$ Приведём дроби к знаменателю 72: $$\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{20}{72}$$ $$\frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{21}{72}$$ $$\frac{11}{36} = \frac{11 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{22}{72}$$ Выполним действия в скобках: $$\frac{20}{72} + \frac{21}{72} - \frac{22}{72} = \frac{20 + 21 - 22}{72} = \frac{41 - 22}{72} = \frac{19}{72}$$ Получим: $$c \cdot \frac{19}{72} = \frac{19}{72}c$$ **Ответ: $\frac{19}{72}c$** 4) $2\frac{7}{16}y + 3\frac{5}{20}y + 1\frac{3}{8}y$ Вынесем общий множитель $y$ за скобки: $$y \cdot (2\frac{7}{16} + 3\frac{5}{20} + 1\frac{3}{8})$$ Сложим целые части: $$2 + 3 + 1 = 6$$ Теперь сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю. НОК(16, 20, 8) = 80. $$\frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 5}{16 \cdot 5} = \frac{35}{80}$$ $$\frac{5}{20} = \frac{5 \cdot 4}{20 \cdot 4} = \frac{20}{80}$$ $$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 10}{8 \cdot 10} = \frac{30}{80}$$ Сложим дробные части: $$\frac{35}{80} + \frac{20}{80} + \frac{30}{80} = \frac{35 + 20 + 30}{80} = \frac{85}{80}$$ Выделим целую часть из $\frac{85}{80}$: $$\frac{85}{80} = 1\frac{5}{80} = 1\frac{1}{16}$$ Теперь сложим целую часть (6) с полученной целой частью (1) и дробью $\frac{1}{16}$: $$6 + 1\frac{1}{16} = 7\frac{1}{16}$$ Получим: $$y \cdot 7\frac{1}{16} = 7\frac{1}{16}y$$ **Ответ: $7\frac{1}{16}y$**