Теплоход прошёл по течению реки 60 км за 4 ч. Сколько времени понадобится на обратный путь, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч?

13. 1. Найдем скорость теплохода по течению реки: $$V_{\text{по течению}} = \frac{S}{t} = \frac{60 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 15 \text{ км/ч}$$ 2. Найдем собственную скорость теплохода: $$V_{\text{собст}} = V_{\text{по течению}} - V_{\text{течения}} = 15 \text{ км/ч} - 1,5 \text{ км/ч} = 13,5 \text{ км/ч}$$ 3. Найдем скорость теплохода против течения реки (на обратном пути): $$V_{\text{против течения}} = V_{\text{собст}} - V_{\text{течения}} = 13,5 \text{ км/ч} - 1,5 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$$ 4. Найдем время, которое потребуется на обратный путь: $$t_{\text{обратно}} = \frac{S}{V_{\text{против течения}}} = \frac{60 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$$ **Ответ: 5 ч** 14. Вычислим выражение: $$\frac{9}{10} + \frac{4}{9} : \left(2 - 1\frac{11}{21}\right) - 1\frac{2}{3}$$ 1. Выполним вычитание в скобках: $$2 - 1\frac{11}{21} = 2 - \frac{32}{21} = \frac{42}{21} - \frac{32}{21} = \frac{10}{21}$$ 2. Выполним деление: $$\frac{4}{9} : \frac{10}{21} = \frac{4}{9} \times \frac{21}{10} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} \times \frac{3 \times 7}{2 \times 5} = \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15}$$ 3. Теперь выполним сложение и вычитание: $$\frac{9}{10} + \frac{14}{15} - 1\frac{2}{3} = \frac{9}{10} + \frac{14}{15} - \frac{5}{3}$$ Приведем дроби к общему знаменателю 30: $$\frac{9 \times 3}{10 \times 3} + \frac{14 \times 2}{15 \times 2} - \frac{5 \times 10}{3 \times 10} = \frac{27}{30} + \frac{28}{30} - \frac{50}{30} = \frac{27 + 28 - 50}{30} = \frac{55 - 50}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$** 15. 1. Переведем расстояние в метры: $$2 \text{ км } 826 \text{ м} = 2 \times 1000 \text{ м} + 826 \text{ м} = 2000 \text{ м} + 826 \text{ м} = 2826 \text{ м}$$ 2. Найдем длину окружности колеса (это расстояние, которое колесо проходит за один оборот): $$C = \frac{\text{общее расстояние}}{\text{количество оборотов}} = \frac{2826 \text{ м}}{1200} = 2,355 \text{ м}$$ 3. Зная, что длина окружности $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса, найдем диаметр: $$d = \frac{C}{\pi} = \frac{2,355 \text{ м}}{3,14} = 0,75 \text{ м}$$ **Ответ: 0,75 м** 16. 1. Пусть $x$ — ежедневная норма потребления воды одним человеком. Тогда общий запас воды рассчитан на: $$25 \text{ человек} \times 54 \text{ дня} = 1350 \text{ "человеко-дней"} \times x$$ 2. После того, как на борт подняли 20 человек, общее количество людей на борту стало: $$25 + 20 = 45 \text{ человек}$$ 3. Теперь найдем, на сколько дней хватит запасов воды для 45 человек: $$\text{Количество дней} = \frac{1350 \text{ "человеко-дней"} \times x}{45 \text{ человек} \times x} = \frac{1350}{45} = 30 \text{ дней}$$ **Ответ: 30 дней** 17. **Допущение: Водитель проехал третью треть времени.** Пусть $S$ — общее расстояние. Пусть $T$ — общее время в пути. 1. За первую треть времени ($\frac{T}{3}$) водитель проехал половину всего расстояния: $$S_1 = \frac{1}{2} S$$ 2. За вторую треть времени ($\frac{T}{3}$) водитель проехал четверть оставшегося пути. Оставшийся путь после первой трети: $S - S_1 = S - \frac{1}{2} S = \frac{1}{2} S$. За вторую треть пути он проехал: $S_2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} S = \frac{1}{8} S$ 3. Оставшийся путь составляет 30 км. Этот путь был проделан за третью треть времени ($\frac{T}{3}$), после чего водитель остановился. Значит, $S_3 = 30 \text{ км}$. 4. Общее расстояние равно сумме всех частей пути: $$S = S_1 + S_2 + S_3$$ $$S = \frac{1}{2} S + \frac{1}{8} S + 30$$ 5. Вычтем из $S$ известные части, чтобы найти оставшуюся долю: $$S - \frac{1}{2} S - \frac{1}{8} S = 30$$ $$S \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\right) = 30$$ $$S \left(\frac{8}{8} - \frac{4}{8} - \frac{1}{8}\right) = 30$$ $$S \left(\frac{8 - 4 - 1}{8}\right) = 30$$ $$S \times \frac{3}{8} = 30$$ 6. Найдем общее расстояние $S$: $$S = \frac{30 \times 8}{3} = 10 \times 8 = 80 \text{ км}$$ **Ответ: 80 км** 18. Пусть загаданное двузначное число будет $N$. Мы можем представить его как $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков (от 1 до 9), а $b$ — это цифра единиц (от 0 до 9). Произведение его цифр равно $a \times b$. По условию задачи, когда число умножили на произведение его цифр, получили 255. Значит: $$(10a + b) \times (a \times b) = 255$$ Разложим число 255 на простые множители: $$255 = 5 \times 51 = 5 \times 3 \times 17$$ Мы ищем двузначное число, которое является одним из множителей 255. Множители 255: 1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255. Двузначные множители: 15, 17, 51, 85. Проверим каждый двузначный множитель: 1. Если число $N = 15$: $a = 1$, $b = 5$. Произведение цифр $a \times b = 1 \times 5 = 5$. Проверим: $15 \times 5 = 75$. Это не 255. 2. Если число $N = 17$: $a = 1$, $b = 7$. Произведение цифр $a \times b = 1 \times 7 = 7$. Проверим: $17 \times 7 = 119$. Это не 255. 3. Если число $N = 51$: $a = 5$, $b = 1$. Произведение цифр $a \times b = 5 \times 1 = 5$. Проверим: $51 \times 5 = 255$. Это соответствует условию. 4. Если число $N = 85$: $a = 8$, $b = 5$. Произведение цифр $a \times b = 8 \times 5 = 40$. Проверим: $85 \times 40 = 3400$. Это не 255. Единственное число, которое подходит, это 51. **Ответ: 51**