При каких значениях $x$ график функции $y = \frac{x}{x-5}$ расположен ниже прямой $y = 2$?

Чтобы график функции $y = \frac{x}{x-5}$ располагался ниже прямой $y = 2$, нужно решить неравенство: $$\frac{x}{x-5} < 2$$ Перенесём $2$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$\frac{x}{x-5} - 2 < 0$$ $$\frac{x - 2(x-5)}{x-5} < 0$$ $$\frac{x - 2x + 10}{x-5} < 0$$ $$\frac{-x + 10}{x-5} < 0$$ Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $$\frac{x - 10}{x-5} > 0$$ Найдём критические точки, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$ $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x - 10}{x-5}$ на полученных интервалах: * При $x < 5$, например $x=0$: $\frac{0 - 10}{0 - 5} = \frac{-10}{-5} = 2 > 0$ * При $5 < x < 10$, например $x=6$: $\frac{6 - 10}{6 - 5} = \frac{-4}{1} = -4 < 0$ * При $x > 10$, например $x=11$: $\frac{11 - 10}{11 - 5} = \frac{1}{6} > 0$ Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля ($\frac{x - 10}{x-5} > 0$). Это интервалы $(-\infty; 5)$ и $(10; +\infty)$. **Ответ:** $x \in (-\infty; 5) \cup (10; +\infty)$