Расписать кратко, но понятно первый признак подобия треугольников, дано, доказать, доказательство по геометрии

## Первый признак подобия треугольников (по двум углам) **Признак:** Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. **Дано:** Два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. **Доказать:** $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (то есть, что их стороны пропорциональны). **Доказательство:** 1. **Равенство третьих углов:** Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Значит, для $\triangle ABC$: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$. Для $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\angle C = \angle C_1$. Таким образом, все углы одного треугольника равны соответствующим углам другого. 2. **Отношение площадей и сторон:** Известно, что отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Так как $\angle C = \angle C_1$, то отношение площадей $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AC \cdot BC}{A_1C_1 \cdot B_1C_1}$. Аналогично, так как $\angle A = \angle A_1$, то $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$. И так как $\angle B = \angle B_1$, то $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot BC}{A_1B_1 \cdot B_1C_1}$. 3. **Вывод о пропорциональности сторон:** Из равенств отношений площадей получаем: $$\frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{BC \cdot AC}{B_1C_1 \cdot A_1C_1}$$ Сокращая $AC$ и $A_1C_1$ (так как они не равны нулю), получаем: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$$ Аналогично, используя другие равенства отношений площадей (например, с $\angle A = \angle A_1$), можно показать, что $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1}$. Отсюда следует, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1}$. **Итог:** Стороны треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам треугольника $A_1B_1C_1$. А это и есть условие подобия треугольников.