Упростите выражение: $ \frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}-1} - x^{\frac{1}{4}} $

Упростим выражение: $$ \frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}-1} - x^{\frac{1}{4}} $$ Для удобства введём замену $t = x^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x^{\frac{1}{2}} = t^2$, $x^{\frac{3}{4}} = t^3$, $x = t^4$. Выражение примет вид: $$ \frac{t^4-1}{t^3+t^2} \cdot \frac{t^2+t}{t^2-1} - t $$ Разложим числители и знаменатели на множители: 1. $t^4-1 = (t^2-1)(t^2+1) = (t-1)(t+1)(t^2+1)$ 2. $t^3+t^2 = t^2(t+1)$ 3. $t^2+t = t(t+1)$ 4. $t^2-1 = (t-1)(t+1)$ Подставим разложенные множители в выражение: $$ \frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t+1)} \cdot \frac{t(t+1)}{(t-1)(t+1)} - t $$ Сократим общие множители: $$ \frac{(t-1)(t+1)(t^2+1)}{t^2(t+1)} \cdot \frac{t(t+1)}{(t-1)(t+1)} - t = \frac{t^2+1}{t} - t $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{t^2+1}{t} - \frac{t^2}{t} = \frac{t^2+1-t^2}{t} = \frac{1}{t} $$ Теперь вернёмся к переменной $x$, подставив $t = x^{\frac{1}{4}}$: $$ \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} = x^{-\frac{1}{4}} $$ **Ответ:** $x^{-\frac{1}{4}}$