Упростить выражение: $\left(\frac{1}{x+2} + \frac{9}{2x^2-x-10} - \frac{8}{2x^2-5x}\right)\left(\frac{52}{x+4} + 2x - 13\right)$

16) Упростим выражение: Сначала разложим на множители знаменатели дробей в первой скобке: $$2x^2-x-10 = 2x^2-5x+4x-10 = x(2x-5)+2(2x-5) = (2x-5)(x+2)$$ $$2x^2-5x = x(2x-5)$$ Теперь перепишем первую скобку, заменив знаменатели: $$\left(\frac{1}{x+2} + \frac{9}{(2x-5)(x+2)} - \frac{8}{x(2x-5)}\right)$$ Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)(2x-5)$: $$\frac{1 \cdot x(2x-5) + 9 \cdot x - 8 \cdot (x+2)}{x(x+2)(2x-5)}$$ $$\frac{2x^2-5x + 9x - 8x - 16}{x(x+2)(2x-5)}$$ $$\frac{2x^2 - 4x - 16}{x(x+2)(2x-5)}$$ Вынесем 2 из числителя: $$\frac{2(x^2 - 2x - 8)}{x(x+2)(2x-5)}$$ Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 2x - 8$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Значит, $x^2 - 2x - 8 = (x-(-2))(x-4) = (x+2)(x-4)$. Подставим это обратно в числитель: $$\frac{2(x+2)(x-4)}{x(x+2)(2x-5)}$$ Сократим $(x+2)$ (при условии $x \neq -2$): $$\frac{2(x-4)}{x(2x-5)}$$ Теперь рассмотрим вторую скобку: $$\left(\frac{52}{x+4} + 2x - 13\right)$$ Приведем к общему знаменателю $x+4$: $$\frac{52 + (2x-13)(x+4)}{x+4}$$ $$\frac{52 + 2x^2 + 8x - 13x - 52}{x+4}$$ $$\frac{2x^2 - 5x}{x+4}$$ Вынесем $x$ из числителя: $$\frac{x(2x-5)}{x+4}$$ Теперь перемножим упрощенные выражения из обеих скобок: $$\frac{2(x-4)}{x(2x-5)} \cdot \frac{x(2x-5)}{x+4}$$ Сократим $x$ (при условии $x \neq 0$) и $(2x-5)$ (при условии $2x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 2.5$): $$\frac{2(x-4)}{x+4}$$ **Ответ:** $\frac{2(x-4)}{x+4}$ 17) Р.у. (Решите уравнение). Перепишем уравнение: $$\frac{9}{8x^3+12x^2-18x-27} - \frac{1}{4x^2-12x+9} = \frac{2}{9-4x^2}$$ Разложим знаменатели на множители: Первый знаменатель: $8x^3+12x^2-18x-27$ Сгруппируем члены: $$4x^2(2x+3) - 9(2x+3) = (4x^2-9)(2x+3)$$ Разложим $4x^2-9$ как разность квадратов: $$(2x-3)(2x+3)(2x+3) = (2x-3)(2x+3)^2$$ Второй знаменатель: $4x^2-12x+9$ Это полный квадрат разности: $$(2x-3)^2$$ Третий знаменатель: $9-4x^2$ Разложим как разность квадратов и вынесем минус: $$-(4x^2-9) = -(2x-3)(2x+3)$$ Перепишем уравнение с разложенными знаменателями: $$\frac{9}{(2x-3)(2x+3)^2} - \frac{1}{(2x-3)^2} = \frac{2}{-(2x-3)(2x+3)}$$ $$\frac{9}{(2x-3)(2x+3)^2} - \frac{1}{(2x-3)^2} = -\frac{2}{(2x-3)(2x+3)}$$ Общий знаменатель: $(2x-3)^2(2x+3)^2$ Умножим каждую дробь на недостающие множители: $$\frac{9(2x-3)}{(2x-3)^2(2x+3)^2} - \frac{(2x+3)^2}{(2x-3)^2(2x+3)^2} = -\frac{2(2x-3)(2x+3)}{(2x-3)^2(2x+3)^2}$$ Приравняем числители, при условии, что знаменатель не равен нулю. То есть $2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.5$ и $2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.5$. $$9(2x-3) - (2x+3)^2 = -2(2x-3)(2x+3)$$ $$18x - 27 - (4x^2 + 12x + 9) = -2(4x^2 - 9)$$ $$18x - 27 - 4x^2 - 12x - 9 = -8x^2 + 18$$ $$-4x^2 + 6x - 36 = -8x^2 + 18$$ Перенесем все члены в левую часть: $$-4x^2 + 8x^2 + 6x - 36 - 18 = 0$$ $$4x^2 + 6x - 54 = 0$$ Разделим все на 2: $$2x^2 + 3x - 27 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ Проверим найденные корни на допустимые значения ($x \neq 1.5$, $x \neq -1.5$). Оба корня подходят. **Ответ:** $x_1 = -4.5$, $x_2 = 3$