Решить систему уравнений: xy + 42 = 0, x^2 - 2y - 61 = 0

Допущение: требуется решить систему уравнений: $$ \begin{cases} xy + 42 = 0 \\ x^2 - 2y - 61 = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $$ y = -\frac{42}{x} $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ x^2 - 2\left(-\frac{42}{x}\right) - 61 = 0 $$ $$ x^2 + \frac{84}{x} - 61 = 0 $$ Умножим всё уравнение на $x$ (предполагаем, что $x \neq 0$, иначе первое уравнение не имело бы смысла): $$ x^3 - 61x + 84 = 0 $$ Попробуем найти целые корни среди делителей числа 84: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \dots$ Проверим $x=3$: $$ 3^3 - 61 \cdot 3 + 84 = 27 - 183 + 84 = 111 - 183 = -72 \neq 0 $$ Проверим $x=4$: $$ 4^3 - 61 \cdot 4 + 84 = 64 - 244 + 84 = 148 - 244 = -96 \neq 0 $$ Проверим $x=-3$: $$ (-3)^3 - 61 \cdot (-3) + 84 = -27 + 183 + 84 = 267 - 27 = 240 \neq 0 $$ Проверим $x=-4$: $$ (-4)^3 - 61 \cdot (-4) + 84 = -64 + 244 + 84 = 328 - 64 = 264 \neq 0 $$ Проверим $x=1$: $$ 1^3 - 61 \cdot 1 + 84 = 1 - 61 + 84 = 24 \neq 0 $$ Проверим $x=2$: $$ 2^3 - 61 \cdot 2 + 84 = 8 - 122 + 84 = -30 \neq 0 $$ Проверим $x=6$: $$ 6^3 - 61 \cdot 6 + 84 = 216 - 366 + 84 = 300 - 366 = -66 \neq 0 $$ Проверим $x=-6$: $$ (-6)^3 - 61 \cdot (-6) + 84 = -216 + 366 + 84 = 450 - 216 = 234 \neq 0 $$ Попробуем $x=7$: $$ 7^3 - 61 \cdot 7 + 84 = 343 - 427 + 84 = 427 - 427 = 0 $$ Итак, $x=7$ является корнем уравнения. Тогда $y = -\frac{42}{7} = -6$. Одна пара решений: $(7, -6)$. Разделим многочлен $x^3 - 61x + 84$ на $(x-7)$ столбиком: $$ \begin{array}{ccc|l} x^3 & +0x^2 & -61x & +84 & x-7 \\ \hline x^3 & -7x^2 & & & x^2+7x-12 \\ \hline & 7x^2 & -61x \\ & 7x^2 & -49x \\ \hline & & -12x & +84 \\ & & -12x & +84 \\ \hline & & & 0 \\ \end{array} $$ Получаем квадратное уравнение: $x^2 + 7x - 12 = 0$ Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2} $$ Таким образом, имеем еще два значения для $x$: $$ x_2 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2} $$ $$ y_2 = -\frac{42}{x_2} = -\frac{42}{\frac{-7 + \sqrt{97}}{2}} = -\frac{84}{-7 + \sqrt{97}} = -\frac{84(-7 - \sqrt{97})}{(-7 + \sqrt{97})(-7 - \sqrt{97})} = -\frac{84(-7 - \sqrt{97})}{49 - 97} = -\frac{84(-7 - \sqrt{97})}{-48} = \frac{7(-7 - \sqrt{97})}{4} = \frac{-49 - 7\sqrt{97}}{4} $$ $$ x_3 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2} $$ $$ y_3 = -\frac{42}{x_3} = -\frac{42}{\frac{-7 - \sqrt{97}}{2}} = -\frac{84}{-7 - \sqrt{97}} = -\frac{84(-7 + \sqrt{97})}{(-7 - \sqrt{97})(-7 + \sqrt{97})} = -\frac{84(-7 + \sqrt{97})}{49 - 97} = -\frac{84(-7 + \sqrt{97})}{-48} = \frac{7(-7 + \sqrt{97})}{4} = \frac{-49 + 7\sqrt{97}}{4} $$ **Ответ:** $$ (7, -6) $$ $$ \left(\frac{-7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{-49 - 7\sqrt{97}}{4}\right) $$ $$ \left(\frac{-7 - \sqrt{97}}{2}, \frac{-49 + 7\sqrt{97}}{4}\right) $$