Решите систему уравнений: ${ x^3 + y^3 = 2 \atop xy(x + y) = 2 }

Дано система уравнений: $$\begin{cases} x^3 + y^3 = 2 \\ xy(x + y) = 2 \end{cases}$$ Вспомним формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Также знаем, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Тогда первое уравнение можно переписать так: $$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 2$$ $$(x + y)((x + y)^2 - 3xy) = 2$$ Теперь у нас есть система, которую удобно решать заменой: Пусть $x + y = a$ и $xy = b$. Тогда система примет вид: $$\begin{cases} a(a^2 - 3b) = 2 \\ ab = 2 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $b$: $b = \frac{2}{a}$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$a\left(a^2 - 3\cdot\frac{2}{a}\right) = 2$$ $$a\left(a^2 - \frac{6}{a}\right) = 2$$ Раскроем скобки: $$a^3 - 6 = 2$$ $$a^3 = 8$$ $$a = 2$$ Теперь найдем $b$, используя $a=2$: $$b = \frac{2}{a} = \frac{2}{2} = 1$$ Возвращаемся к нашим заменам: $$\begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 1 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - x$. Подставим во второе уравнение: $$x(2 - x) = 1$$ $$2x - x^2 = 1$$ $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ $$(x - 1)^2 = 0$$ $$x = 1$$ Теперь найдем $y$: $y = 2 - x = 2 - 1 = 1$. **Ответ:** $x = 1, y = 1$