Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися?

1. Прямые $m$ и $n$ лежат в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$. a) Если прямые $m$ и $n$ лежат в параллельных плоскостях, они могут быть **параллельными**. :::div .chart-container @chart-1::: b) Если прямые $m$ и $n$ лежат в параллельных плоскостях, они могут быть **скрещивающимися**. :::div .chart-container @chart-2::: 2. Рассмотрим тетраэдр $DABC$. Построим сечение, проходящее через точки $M, N, P$. :::div .chart-container @chart-3::: 3. Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $F, R, G$, являющиеся серединами ребер $AB, BC$ и $DD_1$. :::div .chart-container @chart-4::: 4. Даны параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$, их пересекают две параллельные прямые $a$ и $b$ в точках $A_1, A_2$ и $B_1, B_2$ соответственно. Найдите градусную меру угла $A_1A_2B_2$, если угол $A_1B_1B_2$ равен $110^\circ$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны и плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то $A_1B_1$ и $A_2B_2$ являются отрезками параллельных прямых между параллельными плоскостями, а значит $A_1B_1B_2A_2$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие углы равны, а соседние углы в сумме дают $180^\circ$. $$\angle A_1A_2B_2 + \angle A_1B_1B_2 = 180^\circ$$ $$\angle A_1A_2B_2 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$ **Ответ: $70^\circ$** 5. Через точку $O$, лежащую между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, проведены прямые $a$ и $b$. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, прямая $b$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Найдите длину отрезка $A_1B_1$, если $A_2B_2 = 12$ см, $B_1O : OB_2 = 3 : 4$. Точки $A_1, O, A_2$ лежат на одной прямой $a$. Точки $B_1, O, B_2$ лежат на одной прямой $b$. Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ лежат в одной плоскости, образованной прямыми $a$ и $b$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. Рассмотрим треугольники $\triangle A_1OB_1$ и $\triangle A_2OB_2$. Они подобны по двум углам (вертикальные углы $\angle A_1OB_1 = \angle A_2OB_2$ и накрест лежащие углы $\angle OA_1B_1 = \angle OA_2B_2$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{B_1O}{OB_2}$$ Нам дано $A_2B_2 = 12$ см и $B_1O : OB_2 = 3 : 4$. Подставим известные значения: $$\frac{A_1B_1}{12} = \frac{3}{4}$$ Найдем $A_1B_1$: $$A_1B_1 = 12 \cdot \frac{3}{4}$$ $$A_1B_1 = 3 \cdot 3$$ $$A_1B_1 = 9 \text{ см}$$ **Ответ: 9 см**