Решите уравнение: 2x² + 7x − 9 = 0

1. Решите уравнение: а) $2x^2 + 7x - 9 = 0$ Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=2$, $b=7$, $c=-9$. Найдем дискриминант: $$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ **Ответ: $x_1 = -4.5$, $x_2 = 1$** б) $3x^2 = 18x$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$3x^2 - 18x = 0$$ Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $$3x(x - 6) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$3x = 0 \implies x_1 = 0$$ $$x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$$ **Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 6$** в) $100x^2 - 16 = 0$ Перенесем число 16 в правую часть: $$100x^2 = 16$$ Разделим обе части на 100: $$x^2 = \frac{16}{100}$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x = \pm\sqrt{\frac{16}{100}}$$ $$x = \pm\frac{4}{10}$$ $$x = \pm0.4$$ **Ответ: $x_1 = -0.4$, $x_2 = 0.4$** г) $x^2 - 16x + 63 = 0$ Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-16$, $c=63$. Найдем дискриминант: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4$$ Теперь найдем корни: $$x_1 = \frac{-(-16) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ **Ответ: $x_1 = 7$, $x_2 = 9$** 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Площадь прямоугольника равна 24 см$^2$. Найдите его стороны. Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$. Тогда: Периметр: $2(a+b) = 20$ Площадь: $a \cdot b = 24$ Из уравнения для периметра найдем сумму сторон: $$a+b = \frac{20}{2} = 10$$ Отсюда выразим $b$ через $a$: $b = 10 - a$ Подставим это выражение во второе уравнение (для площади): $$a(10 - a) = 24$$ $$10a - a^2 = 24$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$a^2 - 10a + 24 = 0$$ Решим это квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a_{квадратного} = 1$, $b_{квадратного} = -10$, $c_{квадратного} = 24$. Найдем дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$ Теперь найдем значения для $a$: $$a_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$a_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Если $a=4$ см, то $b = 10 - 4 = 6$ см. Если $a=6$ см, то $b = 10 - 6 = 4$ см. **Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.**