Решите данное уравнение 2cos²x + 2sin2x = 3.

а) Для решения уравнения $2 \cos^2 x + 2 \sin 2x = 3$ используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Также, заменим 3 на $3 \cdot 1$, а единицу по основному тригонометрическому тождеству $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Получаем: $$2 \cos^2 x + 2(2 \sin x \cos x) = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$$ $$2 \cos^2 x + 4 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$$ Перенесем все члены в одну сторону: $$3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$$ Это однородное тригонометрическое уравнение. Разделим его на $\cos^2 x$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Подставим в исходное уравнение: $2 \cos^2(\frac{\pi}{2} + \pi n) + 2 \sin(2(\frac{\pi}{2} + \pi n)) = 3$. $2 \cdot 0^2 + 2 \sin(\pi + 2\pi n) = 3$. $0 + 2 \cdot 0 = 3$, что неверно ($0=3$). Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим на $\cos^2 x$: $$3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0$$ Сделаем замену: $\operatorname{tg} x = t$. $$3t^2 - 4t + 1 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ Корни квадратного уравнения: $$t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ Возвращаемся к замене: 1. $\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}$ $$x = \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $\operatorname{tg} x = 1$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** а) $x = \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Нужно найти корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right]$. Рассмотрим первый случай: $x = \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$. Мы знаем, что $0 < \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) < \frac{\pi}{4}$. Пусть $n=-2$: $x = \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) - 2\pi$. Это значение будет меньше $-\frac{3\pi}{2}$. $\operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) - 2\pi \approx 0.32 - 6.28 = -5.96$. $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Пусть $n=-1$: $x = \operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) - \pi$. Приблизительное значение: $0.32 - 3.14 = -2.82$. Проверим, принадлежит ли это промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] = [-4.71; -1.57]$. $-2.82$ принадлежит этому промежутку. Это один корень. Рассмотрим второй случай: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$. Пусть $k=-2$: $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. Приблизительное значение: $-1.75\pi \approx -5.49$. Это значение меньше $-\frac{3\pi}{2}$. Пусть $k=-1$: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Приблизительное значение: $-0.75\pi \approx -2.35$. Проверим, принадлежит ли это промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] = [-4.71; -1.57]$. $-2.35$ принадлежит этому промежутку. Это второй корень. При $n=0$ или $k=0$ и больше, корни будут положительными или слишком большими, чтобы попасть в заданный отрицательный промежуток. **Ответ:** б) Корни, принадлежащие промежутку: $\operatorname{arctg} \left(\frac{1}{3}\right) - \pi$, $-\frac{3\pi}{4}$.