В треугольнике $BCD$ стороны $BD$ и $CD$ равны, $DM$ — медиана, угол $BDC$ равен $36^\circ$. Найдите углы $BMD$ и $BDM$.

1. В треугольнике $BCD$ стороны $BD$ и $CD$ равны, значит, он равнобедренный. $DM$ — медиана, поэтому $DM$ также является биссектрисой и высотой. Поскольку $DM$ — биссектриса, она делит угол $BDC$ пополам: $$\angle BDM = \angle CDM = \frac{\angle BDC}{2}$$ $$\angle BDM = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$$ Поскольку $DM$ — высота, угол $DMB$ равен $90^\circ$. В треугольнике $BDM$ сумма углов равна $180^\circ$: $$\angle BMD + \angle BDM + \angle DBM = 180^\circ$$ $$90^\circ + 18^\circ + \angle DBM = 180^\circ$$ $$108^\circ + \angle DBM = 180^\circ$$ $$\angle DBM = 180^\circ - 108^\circ$$ $$\angle DBM = 72^\circ$$ **Ответ:** $\angle BMD = 90^\circ$, $\angle BDM = 18^\circ$. 2. Дан луч $SC$ — биссектриса угла $ASB$, и отрезки $SA$ и $SB$ равны. Нужно доказать, что $\triangle SAC = \triangle SBC$. Рассмотрим треугольники $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$. Из условия известно, что: * $SA = SB$ (сторона) * $\angle ASC = \angle BSC$ (так как $SC$ — биссектриса угла $ASB$) (угол) * $SC$ — общая сторона По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle SAC = \triangle SBC$. **Что и требовалось доказать.** 3. В окружности с центром $O$ проведены хорды $DE$ и $PK$. Известно, что $\angle DOE = \angle POK$. Нужно доказать, что эти хорды равны. Рассмотрим треугольники $\triangle DOE$ и $\triangle POK$. Известно, что $OD, OE, OP, OK$ — радиусы окружности, поэтому: * $OD = OE = OP = OK$ (радиусы равны) * $\angle DOE = \angle POK$ (дано) По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle DOE = \triangle POK$. Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны тоже равны, то есть $DE = PK$. **Что и требовалось доказать.**