Вычислите $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}$

№1. Вычислите: $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}$ Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $$12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}} = (12 \cdot 0,5)^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}}$$ $$ = (6)^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}}$$ $$ = 6^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}$$ $$ = 6^1 = 6$$ **Ответ: 6** №2. Упростите выражение: $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{3}} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}$ Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели: $$a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{3}} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{5}{3} + \frac{1}{6}}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{5}{3} + \frac{1}{6} = \frac{10}{6} + \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$$ Теперь подставим эти значения обратно в выражение: $$a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{11}{6}}$$ **Ответ: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{11}{6}}$** №3. Решите уравнения: a) $2^{x+4} - 2^x = 120$ Вынесем общий множитель $2^x$: $$2^x \cdot 2^4 - 2^x = 120$$ $$2^x (2^4 - 1) = 120$$ $$2^x (16 - 1) = 120$$ $$2^x \cdot 15 = 120$$ Разделим обе части на 15: $$2^x = \frac{120}{15}$$ $$2^x = 8$$ Представим 8 как степень двойки: $$2^x = 2^3$$ $$x = 3$$ **Ответ: $x=3$** б) $9^x - 3^{x+1} = 54$ Перепишем $9^x$ как $(3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{x+1}$ как $3^x \cdot 3^1$: $$(3^x)^2 - 3^x \cdot 3 = 54$$ Сделаем замену переменной: пусть $y = 3^x$. Учтем, что $y > 0$. $$y^2 - 3y = 54$$ Перенесем 54 в левую часть: $$y^2 - 3y - 54 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$ $$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Так как $y = 3^x$, а $3^x$ всегда больше нуля, то $y_2 = -6$ нам не подходит. Используем $y_1 = 9$: $$3^x = 9$$ $$3^x = 3^2$$ $$x = 2$$ **Ответ: $x=2$** в) $3 \cdot 25^x - 8 \cdot 15^x + 5 \cdot 9^x = 0$ Это однородное показательное уравнение. Разделим все члены уравнения на $9^x$ (или $25^x$, или $15^x$). Пусть разделим на $9^x$: $$\frac{3 \cdot 25^x}{9^x} - \frac{8 \cdot 15^x}{9^x} + \frac{5 \cdot 9^x}{9^x} = 0$$ $$3 \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^x - 8 \cdot \left(\frac{15}{9}\right)^x + 5 = 0$$ Упростим дроби: $$\frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2$$ $$\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$$ Подставим эти значения обратно: $$3 \cdot \left(\left(\frac{5}{3}\right)^2\right)^x - 8 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x + 5 = 0$$ $$3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} - 8 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x + 5 = 0$$ Сделаем замену переменной: пусть $y = \left(\frac{5}{3}\right)^x$. Учтем, что $y > 0$. $$3y^2 - 8y + 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$ $$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$$ Теперь вернемся к замене $y = \left(\frac{5}{3} ight)^x$. Случай 1: $y_1 = \frac{5}{3}$ $$\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{5}{3}$$ $$x = 1$$ Случай 2: $y_2 = 1$ $$\left(\frac{5}{3}\right)^x = 1$$ Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому: $$x = 0$$ **Ответ: $x=0$, $x=1$** №4. Решите неравенства: a) $8^{2x+1} > 0,125$ Представим $0,125$ в виде дроби и затем в виде степени: $$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$ Теперь перепишем неравенство: $$8^{2x+1} > \frac{1}{8}$$ Представим $\frac{1}{8}$ как $8^{-1}$: $$8^{2x+1} > 8^{-1}$$ Основание степени 8 больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется при приравнивании показателей: $$2x+1 > -1$$ $$2x > -1 - 1$$ $$2x > -2$$ $$x > \frac{-2}{2}$$ $$x > -1$$ **Ответ: $x > -1$ или $x \in (-1; +\infty)$** б) $5^{5-4x} - 2 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3-4x} - 5 \ge 0$ Перепишем $\left(\frac{1}{5}\right)^{3-4x}$ как $5^{-(3-4x)} = 5^{4x-3}$: $$5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$$ Перепишем степени так, чтобы было удобнее работать. Заметим, что $5^{4x-3} = 5^{4x} \cdot 5^{-3} = \frac{5^{4x}}{125}$, а $5^{5-4x} = 5^5 \cdot 5^{-4x} = \frac{3125}{5^{4x}}$. Пусть $y = 5^{4x}$. Тогда $5^{5-4x} = 5^5 \cdot (5^{4x})^{-1} = 3125y^{-1} = \frac{3125}{y}$, и $5^{4x-3} = 5^{4x} \cdot 5^{-3} = y \cdot \frac{1}{125} = \frac{y}{125}$. Подставим это в неравенство: $$\frac{3125}{y} - 2 \cdot \frac{y}{125} - 5 \ge 0$$ Умножим все члены неравенства на $125y$ (так как $y = 5^{4x} > 0$, знак неравенства не изменится): $$3125 \cdot 125 - 2y^2 - 5 \cdot 125y \ge 0$$ $$390625 - 2y^2 - 625y \ge 0$$ $$ -2y^2 - 625y + 390625 \ge 0$$ Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $$2y^2 + 625y - 390625 \le 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $2y^2 + 625y - 390625 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (625)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-390625) = 390625 + 3125000 = 3515625$ $$\sqrt{D} = \sqrt{3515625} = 1875$$ $$y_1 = \frac{-625 - 1875}{2 \cdot 2} = \frac{-2500}{4} = -625$$ $$y_2 = \frac{-625 + 1875}{2 \cdot 2} = \frac{1250}{4} = 312,5$$ Так как $y = 5^{4x}$, $y$ должно быть положительным. Поэтому $y_1 = -625$ нам не подходит. Нам нужно решить неравенство $2y^2 + 625y - 390625 \le 0$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, неравенство выполняется между корнями. Но так как $y > 0$, то: $$0 < y \le 312,5$$ Вернемся к замене $y = 5^{4x}$: $$5^{4x} \le 312,5$$ Преобразуем $312,5$ в дробь: $$312,5 = \frac{3125}{10} = \frac{625}{2}$$ $$5^{4x} \le \frac{625}{2}$$ Заметим, что $625 = 5^4$. $$5^{4x} \le \frac{5^4}{2}$$ Это неравенство сложнее решить без логарифмов. Давай перепроверим преобразования. Попробуем по-другому преобразовать исходное неравенство: $$5^{5-4x} - 2 \cdot \left(5^{-1}\right)^{3-4x} - 5 \ge 0$$ $$5^{5-4x} - 2 \cdot 5^{4x-3} - 5 \ge 0$$ Умножим все на $5^3$ (так как $5^3 = 125 > 0$, знак неравенства не меняется): $$5^{5-4x} \cdot 5^3 - 2 \cdot 5^{4x-3} \cdot 5^3 - 5 \cdot 5^3 \ge 0$$ $$5^{5-4x+3} - 2 \cdot 5^{4x-3+3} - 5^4 \ge 0$$ $$5^{8-4x} - 2 \cdot 5^{4x} - 625 \ge 0$$ Пусть $t = 5^{4x}$. Тогда $5^{8-4x} = 5^8 \cdot 5^{-4x} = 5^8 / 5^{4x} = 5^8 / t$. $$\frac{5^8}{t} - 2t - 625 \ge 0$$ Умножим на $t$ (поскольку $t=5^{4x}>0$, знак неравенства не меняется): $$5^8 - 2t^2 - 625t \ge 0$$ $$2t^2 + 625t - 5^8 \le 0$$ $$2t^2 + 625t - 390625 \le 0$$ Это то же самое квадратное неравенство, что и выше. Корни: $t_1 = -625$, $t_2 = 312.5$. Так как $t = 5^{4x} > 0$, то нам подходит $0 < t \le 312.5$. Возвращаемся к $t = 5^{4x}$: $$5^{4x} \le 312,5$$ Мы уже выяснили, что $312,5 = \frac{625}{2}$. $$5^{4x} \le \frac{625}{2}$$ $$5^{4x} \le \frac{5^4}{2}$$ Чтобы решить это неравенство, можно взять логарифм по основанию 5 от обеих частей. Поскольку $5 > 1$, знак неравенства не меняется: $$\log_5 (5^{4x}) \le \log_5 \left(\frac{5^4}{2}\right)$$ $$4x \le \log_5(5^4) - \log_5(2)$$ $$4x \le 4 - \log_5(2)$$ $$x \le \frac{4 - \log_5(2)}{4}$$ $$x \le 1 - \frac{1}{4} \log_5(2)$$ **Ответ: $x \le 1 - \frac{1}{4} \log_5(2)$ или $x \in \left(-\infty; 1 - \frac{1}{4} \log_5(2)\right]$**