1. Чтобы найти площадь треугольника, когда известны две стороны и синус угла между ними, используем формулу:
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$$
Где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
В нашем случае:
$AB = 9$
$BC = 16$
$\sin(\angle ABC) = \frac{7}{12}$
Подставляем значения в формулу:
$$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 16 \cdot \frac{7}{12}$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{7}{12}$$
$$S = 72 \cdot \frac{7}{12}$$
$$S = 6 \cdot 7$$
$$S = 42$$
**Ответ: 42**
2. Используем ту же формулу для площади треугольника:
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$$
В нашем случае:
$AB = 12$
$BC = 10$
$\sin(\angle ABC) = \frac{8}{15}$
Подставляем значения в формулу:
$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{8}{15}$$
$$S = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot \frac{8}{15}$$
$$S = 60 \cdot \frac{8}{15}$$
$$S = 4 \cdot 8$$
$$S = 32$$
**Ответ: 32**
3. Чтобы найти сторону AC, используем теорему синусов:
$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$
Нам даны:
$\angle A = 45^\circ$
$\angle B = 30^\circ$
$BC = 6\sqrt{2}$
Сначала найдём угол C. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$$
$$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ$$
$$\angle C = 105^\circ$$
Теперь применим теорему синусов, чтобы найти AC. Нам известно $BC$ и $\angle A$, а также $\angle B$ и $\angle C$:
$$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$$
$$\frac{AC}{\sin(30^\circ)} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$$
Известные значения синусов:
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем их:
$$\frac{AC}{1/2} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}$$
$$AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}$$
$$AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$
$$AC = \frac{1}{2} \cdot 12$$
$$AC = 6$$
**Ответ: 6**
4. Используем теорему синусов:
$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$
Нам даны:
$\angle A = 45^\circ$
$\angle B = 30^\circ$
$BC = 8\sqrt{2}$
Сначала найдём угол C:
$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$$
$$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ$$
$$\angle C = 105^\circ$$
Теперь применим теорему синусов, чтобы найти AC:
$$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$$
$$\frac{AC}{\sin(30^\circ)} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$$
Известные значения синусов:
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем их:
$$\frac{AC}{1/2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}$$
$$AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}$$
$$AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$
$$AC = \frac{1}{2} \cdot 16$$
$$AC = 8$$
**Ответ: 8**
5. Используем теорему синусов:
$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$
Нам даны:
$\angle A = 45^\circ$
$\angle B = 60^\circ$
$BC = 3\sqrt{6}$
Сначала найдём угол C:
$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$$
$$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ$$
$$\angle C = 75^\circ$$
Теперь применим теорему синусов, чтобы найти AC:
$$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$$
$$\frac{AC}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{6}}{\sin(45^\circ)}$$
Известные значения синусов:
$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем их:
$$\frac{AC}{\sqrt{3}/2} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}/2}$$
$$AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}/2}$$
$$AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$$
$$AC = \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$
$$AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$
$$AC = 3 \cdot \sqrt{\frac{18}{2}}$$
$$AC = 3 \cdot \sqrt{9}$$
$$AC = 3 \cdot 3$$
$$AC = 9$$
**Ответ: 9**
