Упростите выражение $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2}$

Для решения примера нужно упростить выражение под корнем: Мы знаем, что $$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2}$$ Сначала упростим выражение под первым корнем. Попробуем представить $11 + 6\sqrt{2}$ в виде квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть $a+b\sqrt{2}$ будет нашим выражением. Тогда $(a+b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + (b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2 = (a^2+2b^2) + 2ab\sqrt{2}$. Сравним это с $11 + 6\sqrt{2}$. Мы видим, что $2ab\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$, значит $2ab = 6$, или $ab = 3$. Также $a^2 + 2b^2 = 11$. Попробуем подобрать целые числа для $a$ и $b$ так, чтобы $ab = 3$. Возможные пары $(a, b)$ это $(1, 3)$ и $(3, 1)$. 1. Если $a=1, b=3$: $a^2 + 2b^2 = 1^2 + 2 \cdot 3^2 = 1 + 2 \cdot 9 = 1 + 18 = 19 \ne 11$. Эта пара не подходит. 2. Если $a=3, b=1$: $a^2 + 2b^2 = 3^2 + 2 \cdot 1^2 = 9 + 2 \cdot 1 = 9 + 2 = 11$. Эта пара подходит! Значит, $11 + 6\sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$. Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} - \sqrt{2}$$ $$\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}|$$ Так как $3 + \sqrt{2}$ - положительное число, то $|3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2}$. Теперь продолжим вычисление: $$3 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$$ **Ответ:** $3$