1. Решите уравнение:
1) $5x^2 - 10 = 0$
$$5x^2 = 10$$
$$x^2 = \frac{10}{5}$$
$$x^2 = 2$$
$$x = \pm\sqrt{2}$$
2) $3x^2 + 4x = 0$
$$x(3x + 4) = 0$$
$$x_1 = 0$$
$$3x + 4 = 0$$
$$3x = -4$$
$$x_2 = -\frac{4}{3}$$
3) $x^2 + 6x - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{-6 \pm 8}{2}$$
$$x_1 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
$$x_2 = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$
4) $3x^2 + 7x + 2 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3}$$
$$x = \frac{-7 \pm 5}{6}$$
$$x_1 = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$
$$x_2 = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$
5) $x^2 - 3x + 1 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$
$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$
$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$$
6) $x^2 - x + 3 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$
Так как $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.
2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение — числу 4.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. По теореме Виета:
$$x_1 + x_2 = -p$$
$$x_1 \cdot x_2 = q$$
Нам дано:
$$x_1 + x_2 = 6 \Rightarrow -p = 6 \Rightarrow p = -6$$
$$x_1 \cdot x_2 = 4 \Rightarrow q = 4$$
**Ответ: $x^2 - 6x + 4 = 0$**
3. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см².
Пусть одна сторона прямоугольника будет $x$ см. Тогда другая сторона будет $x+7$ см.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$$x(x+7) = 44$$
$$x^2 + 7x = 44$$
$$x^2 + 7x - 44 = 0$$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{-7 \pm 15}{2}$$
$$x_1 = \frac{-7 + 15}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
$$x_2 = \frac{-7 - 15}{2} = \frac{-22}{2} = -11$$
Длина стороны не может быть отрицательной, поэтому $x=4$ см.
Тогда другая сторона равна $4+7=11$ см.
**Ответ: 4 см и 11 см**
4. Число $-6$ является корнем уравнения $2x^2 + bx - 6 = 0$. Найдите второй корень уравнения и значение $b$.
Если $x = -6$ является корнем уравнения, то при подстановке его в уравнение, оно должно быть верным:
$$2(-6)^2 + b(-6) - 6 = 0$$
$$2(36) - 6b - 6 = 0$$
$$72 - 6b - 6 = 0$$
$$66 - 6b = 0$$
$$6b = 66$$
$$b = 11$$
Теперь уравнение имеет вид $2x^2 + 11x - 6 = 0$.
По теореме Виета для общего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1+x_2 = -b/a$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = c/a$.
У нас $x_1 = -6$, $a = 2$, $b = 11$, $c = -6$.
Найдем второй корень с помощью произведения корней:
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$
$$-6 \cdot x_2 = \frac{-6}{2}$$
$$-6x_2 = -3$$
$$x_2 = \frac{-3}{-6}$$
$$x_2 = \frac{1}{2}$$
**Ответ: $b = 11$, второй корень $x_2 = 0.5$**
