Найдите значение выражения $(1+2b+b^2) \cdot \left( \frac{4}{b^2+b} + \frac{2}{b^2-1} - \frac{1}{b^2-b} \right)$ при $b=\frac{5}{6}$

1. Упростим выражение: $$ (1+2b+b^2) \cdot \left( \frac{4}{b^2+b} + \frac{2}{b^2-1} - \frac{1}{b^2-b} \right) $$ Первая скобка — это квадрат суммы: $$(1+b)^2$$ Разложим знаменатели во второй скобке: $$ b^2+b = b(b+1) $$ $$ b^2-1 = (b-1)(b+1) $$ $$ b^2-b = b(b-1) $$ Тогда вторая скобка будет: $$ \frac{4}{b(b+1)} + \frac{2}{(b-1)(b+1)} - \frac{1}{b(b-1)} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $b(b-1)(b+1)$: $$ \frac{4(b-1)}{b(b+1)(b-1)} + \frac{2b}{b(b-1)(b+1)} - \frac{1(b+1)}{b(b-1)(b+1)} $$ Сложим числители: $$ \frac{4(b-1) + 2b - (b+1)}{b(b-1)(b+1)} = \frac{4b-4+2b-b-1}{b(b-1)(b+1)} = \frac{5b-5}{b(b-1)(b+1)} = \frac{5(b-1)}{b(b-1)(b+1)} $$ Сократим $b-1$ (при условии $b \neq 1$): $$ \frac{5}{b(b+1)} $$ Теперь умножим первую скобку на полученное выражение: $$ (1+b)^2 \cdot \frac{5}{b(b+1)} = (b+1)^2 \cdot \frac{5}{b(b+1)} = \frac{5(b+1)}{b} $$ 2. Подставим значение $b = \frac{5}{6}$ в упрощенное выражение: $$ \frac{5\left(\frac{5}{6}+1\right)}{\frac{5}{6}} = \frac{5\left(\frac{5}{6}+\frac{6}{6}\right)}{\frac{5}{6}} = \frac{5\left(\frac{11}{6}\right)}{\frac{5}{6}} $$ $$ = 5 \cdot \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{5} = 11 $$ **Ответ:** 11