Катет прямоугольного треугольника равен 20 см, а его проекция на гипотенузу — 16 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть $CD$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $AB$. Катет $AC = 20$ см. Проекция катета $AC$ на гипотенузу $AD = 16$ см. 1. Найдем гипотенузу $AB$. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. То есть, $AC^2 = AB \cdot AD$. Подставляем известные значения: $20^2 = AB \cdot 16$ $400 = 16 \cdot AB$ $AB = \frac{400}{16} = 25$ см. 2. Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. $25^2 = 20^2 + BC^2$ $625 = 400 + BC^2$ $BC^2 = 625 - 400 = 225$ $BC = \sqrt{225} = 15$ см. 3. Найдем площадь треугольника $ABC$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$ $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 10 \cdot 15 = 150$ см$^2$. **Ответ:** Площадь треугольника равна $150$ см$^2$.