На прямой отмечены точки B, C и D. Какую длину может иметь отрезок BD, если BC=4,2 см, CD=5,1 см.

1. На прямой отмечены точки B, C и D. Длину отрезка BD можно найти в двух случаях: 1) Точка C находится между B и D. В этом случае $BD = BC + CD = 4,2\text{ см} + 5,1\text{ см} = 9,3\text{ см}$. 2) Точка B находится между C и D. В этом случае $CD = CB + BD$, откуда $BD = CD - CB = 5,1\text{ см} - 4,2\text{ см} = 0,9\text{ см}$. **Ответ: 9,3 см или 0,9 см** 2. Пусть две прямые пересекаются и образуют углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$. Вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Значит, углы будут $\alpha$, $180^\circ - \alpha$, $\alpha$, $180^\circ - \alpha$. Пусть сумма двух углов равна $2\alpha$. Тогда сумма двух других углов равна $2(180^\circ - \alpha)$. По условию, $2\alpha = \frac{1}{3} \cdot 2(180^\circ - \alpha)$. $\alpha = \frac{1}{3} (180^\circ - \alpha)$ $3\alpha = 180^\circ - \alpha$ $4\alpha = 180^\circ$ $\alpha = 45^\circ$. Углы будут $45^\circ$, $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$, $45^\circ$, $135^\circ$. **Ответ: 45°, 135°, 45°, 135°** 3. Из условия дано: $AO = BO$, $CO = OD$, $CO = 5\text{ см}$, $BO = 3\text{ см}$, $BD = 4\text{ см}$. Значит, $AO = 3\text{ см}$, $OD = 5\text{ см}$. Периметр треугольника CAO равен $CA + AO + CO$. Из треугольников BOC и AOD: $AO=BO$ и $CO=OD$. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ вертикальные, значит, они равны. Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $AD = BC$. Нам нужно найти $CA$. Известно, что $BD = 4\text{ см}$. **Допущение: Треугольники $\triangle CAO$ и $\triangle BDO$ подобны, либо треугольники $\triangle COB$ и $\triangle DOA$ подобны, либо равны. Если $AO = BO$ и $CO = OD$, то $\triangle CAO$ и $\triangle BDO$ равны по двум сторонам и углу между ними (углы при вершине О вертикальные).** Если $\triangle CAO \cong \triangle BDO$, то $CA = BD = 4\text{ см}$. $AO = BO = 3\text{ см}$. $CO = DO = 5\text{ см}$. Периметр $\triangle CAO = CA + AO + CO = 4\text{ см} + 3\text{ см} + 5\text{ см} = 12\text{ см}$. **Ответ: 12 см** 4. Пусть равнобедренный треугольник имеет боковые стороны $a$ и основание $b$. По условию $a:b = 5:2$, то есть $a = 5x$ и $b = 2x$. Периметр треугольника равен $a + a + b = 2a + b = 48\text{ см}$. Подставим значения $a$ и $b$ через $x$: $2(5x) + 2x = 48$. $10x + 2x = 48$. $12x = 48$. $x = 48 \div 12 = 4$. Тогда стороны треугольника равны: $a = 5x = 5 \cdot 4 = 20\text{ см}$. $b = 2x = 2 \cdot 4 = 8\text{ см}$. **Ответ: 20 см, 20 см, 8 см** 5. В каком треугольнике любая биссектриса является медианой и высотой? Такой треугольник — равносторонний. **Ответ: В равностороннем треугольнике**