Решите уравнения 208-210.

208. 1) $4^{x-1} = 1$ Любое число в нулевой степени равно 1. Значит, показатель степени должен быть равен 0. $x-1 = 0$ $x = 1$ **Ответ: 1** 2) $0,3^{3x-2} = 1$ Аналогично предыдущему примеру, показатель степени должен быть равен 0. $3x-2 = 0$ $3x = 2$ $x = \frac{2}{3}$ **Ответ: $\frac{2}{3}$** 3) $2^{2x} = 2^{4\sqrt{3}}$ Если основания равны, то и показатели степени должны быть равны. $2x = 4\sqrt{3}$ $x = \frac{4\sqrt{3}}{2}$ $x = 2\sqrt{3}$ **Ответ: $2\sqrt{3}$** 4) $\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$ Если основания равны, то и показатели степени должны быть равны. $3x = -2$ $x = -\frac{2}{3}$ **Ответ: $-\frac{2}{3}$** 209. 1) $27^x = \frac{1}{3}$ Представим числа в виде степени с основанием 3. $(3^3)^x = 3^{-1}$ $3^{3x} = 3^{-1}$ $3x = -1$ $x = -\frac{1}{3}$ **Ответ: $-\frac{1}{3}$** 2) $400^x = \frac{1}{20}$ Представим числа в виде степени с основанием 20. $(20^2)^x = 20^{-1}$ $20^{2x} = 20^{-1}$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ **Ответ: $-\frac{1}{2}$** 3) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25$ Представим числа в виде степени с основанием 5. $(5^{-1})^x = 5^2$ $5^{-x} = 5^2$ $-x = 2$ $x = -2$ **Ответ: -2** 4) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{81}$ Представим числа в виде степени с основанием 3. $(3^{-1})^x = 3^{-4}$ $3^{-x} = 3^{-4}$ $-x = -4$ $x = 4$ **Ответ: 4** 210. 1) $3 \cdot 9^x = 81$ Приведем все к основанию 3. $3^1 \cdot (3^2)^x = 3^4$ $3^1 \cdot 3^{2x} = 3^4$ $3^{1+2x} = 3^4$ $1+2x = 4$ $2x = 3$ $x = \frac{3}{2}$ **Ответ: $\frac{3}{2}$** 2) $2 \cdot 4^x = 64$ Приведем все к основанию 2. $2^1 \cdot (2^2)^x = 2^6$ $2^1 \cdot 2^{2x} = 2^6$ $2^{1+2x} = 2^6$ $1+2x = 6$ $2x = 5$ $x = \frac{5}{2}$ **Ответ: $\frac{5}{2}$** 3) $3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. $3^{(x+\frac{1}{2}) + (x-2)} = 1$ $3^{2x - \frac{3}{2}} = 3^0$ Приравняем показатели степеней: $2x - \frac{3}{2} = 0$ $2x = \frac{3}{2}$ $x = \frac{3}{4}$ **Ответ: $\frac{3}{4}$** 4) $0,5^{x+7} \cdot 0,5^{1-2x} = 2$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. $0,5^{(x+7) + (1-2x)} = 2$ $0,5^{8-x} = 2$ Заменим 0,5 на $\frac{1}{2}$, а 2 на $(\frac{1}{2})^{-1}$. $\left(\frac{1}{2}\right)^{8-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ Приравняем показатели степеней: $8-x = -1$ $x = 8+1$ $x = 9$ **Ответ: 9** 5) $0,6^x \cdot 0,6^3 = \frac{0,6^{2x}}{0,6^5}$ Применим свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются. $0,6^{x+3} = 0,6^{2x-5}$ Приравняем показатели степеней: $x+3 = 2x-5$ $3+5 = 2x-x$ $x = 8$ **Ответ: 8** 6) $6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{2x}$ Представим $\frac{1}{6}$ как $6^{-1}$. $6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^1 \cdot (6^{-1})^{2x}$ $6^{3x-1} = 6^1 \cdot 6^{-2x}$ $6^{3x-1} = 6^{1-2x}$ Приравняем показатели степеней: $3x-1 = 1-2x$ $3x+2x = 1+1$ $5x = 2$ $x = \frac{2}{5}$ **Ответ: $\frac{2}{5}$**